Chủ đề này có 3 trả lời

[mathandyou]

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x^2+y^2+z^2=3$.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}\ge \frac{3}{32}xyz({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{y}^{2}}+{{z}^{2}})({{x}^{2}}+{{z}^{2}})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathandyou: 19-04-2014 - 17:52

[lahantaithe99]

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x^2+y^2+z^2=3$.Chứng minh rằng:

$\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( {{x}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}\ge \frac{3}{32}xyz({{x}^{2}}+{{y}^{2}})({{y}^{2}}+{{z}^{2}})({{x}^{2}}+{{z}^{2}})$

 

Dễ có $xyz\leqslant 1\Rightarrow$ ta sẽ chứng minh $\sum \frac{1}{(x^2+y^2)^2}\geqslant \frac{3}{32}(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)$

 

Đặt $(a,b,c)=(x^2+y^2,...)\Rightarrow a+b+c=6$ suy ra $abc\leqslant 8$

 

BĐT đưa về cm $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant \frac{3.abc}{32}$

 

Áp dụng BĐT Cô si 

 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}(1)$

 

$\frac{3.abc}{32}\leqslant \frac{3.8}{32}=\frac{3}{4}(2)$

 

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm

[lehoangphuc1820]

Dễ có $xyz\leqslant 1$ => ta sẽ chứng minh $\sum \frac{1}{(x^2+y^2)^2}\geqslant \frac{3}{32}(x^2+y^2)(y^2+z^2)(z^2+x^2)$

 

Đặt $(a,b,c)=(x^2+y^2,...)\Rightarrow $ a+b+c=6 suy ra $abc\leqslant 8$

 

BĐT đưa về cm $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant \frac{3.abc}{32}$

 

Áp dụng BĐT Cô si 

 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{3}{4}(1)$

 

$\frac{3.abc}{32}\leqslant \frac{3.8}{32}=\frac{3}{4}(2)$

 

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm

làm sao cm đc mấy cái này, em ko hiểu

[lahantaithe99]

làm sao cm đc mấy cái này, em ko hiểu

Thì cô si đó

 

Cái thứ nhất $3=x^2+y^2+z^2\geqslant 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Rightarrow xyz\leqslant 1$

 

Cái thứ 2 : $6=a+b+c\geqslant 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leqslant 8$