Chủ đề này có 3 trả lời

[FOOL90]

Với mỗi số nguyên $N$ ta thực hiện 1 trong 2 phép toán sau:
i) Bớt đi các số $0$ của $N$
ii) Nhân $N$ với một số nguyên dương tùy ý

 

Chứng minh rằng sau hữu hạn phép toán như vậy bằng cách hợp lí ta có 1 số có 1 chữ số
 

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này

Hoa hồng hi vọng    sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng (hoặc phủ định đúng) được bài toán này. Nếu hết ngày 16/12 mà vẫn không có ai giải được hoặc phủ định được bài toán này, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng    sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này

[bachhammer]

Mình có hướng này ko biết có đúng ko: Ta sẽ chứng minh với mọi số N bất kì luôn tồn tại các bội của N có dạng 111111....111100000...0000 bằng nguyên lí Dirichlet, chọn số nhỏ nhất, xóa đi số 0 và lại tiếp tục quá trình để dẫn đến số nhỏ hơn nữa....Ko biết có đúng ko...???    

[chanhquocnghiem]

Với mỗi số nguyên $N$ ta thực hiện 1 trong 2 phép toán sau:
i) Bớt đi các số $0$ của $N$
ii) Nhân $N$ với một số nguyên dương tùy ý

 

Chứng minh rằng sau hữu hạn phép toán như vậy bằng cách hợp lí ta có 1 số có 1 chữ số
 

Đề bài cần sửa lại : " Với mỗi số tự nhiên $N$ ta thực hiện ... "

 

Giải :

$1)$ Nếu số tự nhiên $N$ chỉ có $1$ chữ số (kể cả khi $N=0$) thì điều cần chứng minh là hiển nhiên.

$2)$ Nếu số tự nhiên $N$ có nhiều hơn $1$ chữ số :

Ta xét các số dư khi lần lượt chia các số $5;55;555;...;\underbrace{555...5}_{N}$ cho $N$

Có $2$ trường hợp :

$a)$ Có ít nhất $1$ số chia $N$ dư $0\Rightarrow$ tồn tại bội của $N$ có dạng $555...5$

$b)$ Không có số nào chia $N$ dư $0$.

Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất $2$ số $a_{m}=\underbrace{555...5}_{m}$ và $a_{n}=\underbrace{555...5}_{n}$ ($m> n$) có cùng số dư khi chia cho $N\Rightarrow a_{m}-a_{n}=\underbrace{555...5}_{m-n}\underbrace{000...0}_{n}$ là bội của $N$

Vậy, với mọi số tự nhiên $N$ có nhiều hơn $1$ chữ số, chỉ cần $1$ hoặc $2$ phép toán thích hợp ta sẽ được số $N_{2}=\underbrace{555...5}_{k}$ ($k\geqslant 1$)

+ Nếu $k=1$, ta không cần phải chứng minh thêm gì nữa.

+ Nếu $k> 1$, ta thực hiện thêm các phép toán sau :

Phép toán $3$ : Nhân $N_{2}$ với $11$ ta được $N_{3}=6\underbrace{111...1}_{k-2}05$

Phép toán $4$ : Bỏ chữ số $0\Rightarrow N_{4}=6\underbrace{111...1}_{k-2}5$

Phép toán $5$ : Nhân $N_{4}$ với $18$ ta được $N_{5}=11\underbrace{000...0}_{k-2}70$

Phép toán $6$ : Bỏ các chữ số $0\Rightarrow N_{6}=117$

Phép toán $7$ : $N_{6}\times 6=117\times 6=702$

Phép toán $8$ : Bỏ chữ số $0$ ---> $N_{8}=72$

Phép toán $9$ : $N_{8}\times 125=72\times 125=9000$

Phép toán $10$ : Bỏ các chữ số $0$ ---> $9$

 

Vậy với mọi số tự nhiên $N$, sau không quá $10$ phép toán thích hợp ta được số có $1$ chữ số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 16-12-2013 - 08:40