Cho các phương trình $x^2 +ax+1=0,x^2 +bx+1=0,x^2 +cx+1=0$. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$
Cho các phương trình $x^2 +ax+1=0,x^2 +bx+1=0,x^2 +cx+1=0$. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình
#1
Đã gửi 20-04-2014 - 10:44
#2
Đã gửi 19-07-2015 - 13:45
Cho các phương trình $x^2 +ax+1=0,x^2 +bx+1=0,x^2 +cx+1=0$. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$
Gọi $x_1$ là nghiệm bất kì của phương trình thứ nhất; $x_2$ là nghiệm bất kì của phương trình thứ 2 $\Rightarrow x_1x_2$ là nghiệm của phương trình thứ 3.
Nhận thấy $x=0$ đều không phải là nghiệm của 3 phương trình.
Có:
$\left\{\begin{matrix} x_1^2+ax_1+1=0 & \\ x_2^2+bx_2+1=0& \\ (x_1x_2)^2+c(x_1x_2)+1=0& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-x_1 -\frac{1}{x_1}& \\ b=-x_2 -\frac{1}{x_2}& \\ c=-x_1x_2 -\frac{1}{x_1x_2}& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}+4& \\ ab+c=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} & \end{matrix}\right.$
Do đó: $a^2+b^2+c^2+abc=(a^2+b^2)+c(ab+c)=\left ( x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+4 \right )-(x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2})(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1})=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+4 -x_1^2-x_2^2-\frac{1}{x_2^2}-\frac{1}{x_1^2}=4 \square$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh