Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Cho các phương trình $x^2 +ax+1=0,x^2 +bx+1=0,x^2 +cx+1=0$. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 20-04-2014 - 10:44

Cho các phương trình $x^2 +ax+1=0,x^2 +bx+1=0,x^2 +cx+1=0$. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$



#2 Truong Gia Bao

Truong Gia Bao

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 511 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Vùng đất linh hồn
  • Sở thích:Đọc truyện, xem phim, xúc xích và TOÁN HỌC!

Đã gửi 19-07-2015 - 13:45

Cho các phương trình $x^2 +ax+1=0,x^2 +bx+1=0,x^2 +cx+1=0$. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba. CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc=4$

Gọi $x_1$ là nghiệm bất kì của phương trình thứ nhất; $x_2$ là nghiệm bất kì của phương trình thứ 2 $\Rightarrow x_1x_2$ là nghiệm của phương trình thứ 3.

Nhận thấy $x=0$ đều không phải là nghiệm của 3 phương trình.

Có:

$\left\{\begin{matrix} x_1^2+ax_1+1=0 & \\ x_2^2+bx_2+1=0& \\ (x_1x_2)^2+c(x_1x_2)+1=0& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-x_1 -\frac{1}{x_1}& \\ b=-x_2 -\frac{1}{x_2}& \\ c=-x_1x_2 -\frac{1}{x_1x_2}& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2+b^2=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}+4& \\ ab+c=\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} & \end{matrix}\right.$

Do đó: $a^2+b^2+c^2+abc=(a^2+b^2)+c(ab+c)=\left ( x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+4 \right )-(x_1x_2+\frac{1}{x_1x_2})(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1})=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+4 -x_1^2-x_2^2-\frac{1}{x_2^2}-\frac{1}{x_1^2}=4 \square$


"Điều quan trọng không phải là vị trí ta đang đứng, mà là hướng ta đang đi."




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh