Chủ đề này có 1 trả lời

[VNSTaipro]

Với $a,b,c$ là các số không âm thỏa $a+b+c=2$. Chứng minh:

$\sum a^{3}(b^{2}+c^{2})\leq 2$

[Hoang Tung 126]

Với $a,b,c$ là các số không âm thỏa $a+b+c=2$. Chứng minh:

$\sum a^{3}(b^{2}+c^{2})\leq 2$

BĐT $< = > \sum a^2b^2(a+b)\leq 2< = > \sum a^2b^2(2-c)\leq 2< = > 2\sum a^2b^2\leq 2+abc\sum ab$

Ta sẽ CM :$2\sum a^2b^2\leq 2< = > \sum a^2b^2\leq 1=\frac{(\sum a)^4}{16}< = > (\sum a)^4\geq 16\sum a^2b^2< = > (\sum a^2+2\sum ab)^2\geq 16\sum a^2b^2< = > \sum a^4+4\sum ab(a^2+b^2)+6\sum a^2b^2+16abc\sum a\geq 16\sum a^2b^2< = > \sum a^4+4\sum ab(a^2+b^2)+16abc\sum a\geq 10\sum a^2b^2$

Nhưng bđt này luôn đúng vì theo AM-GM và Schur có:

 $\sum a^4+abc\sum a\geq \sum ab(a^2+b^2)\geq \sum ab.2ab=2\sum a^2b^2,4\sum ab(a^2+b^2)\geq 8\sum a^2b^2$ và $15abc\sum a\geq 0$

Từ đó cộng theo vế có ĐPCM .Dấu = khi a=b=1,c=0