Chủ đề này có 2 trả lời

[Xuan Hung HQH]

$\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{a+c}+\frac{c+ab}{a+b}\geq2$

[JokerLegend]

Vì a,b,c>0; a+b+c=1

 BPT <=> $\frac{(1-b)(1-c)}{1-a}+\frac{(1-c)(1-a)}{1-b}+\frac{(1-b)(1-a)}{1-c}\geq2$

  Nhân 2 vào 2 vế ta có bđt:

    (Làm đại diện 1 cái) 

     $ \frac{(1-b)(1-c)}{1-a}+\frac{(1-c)(1-a)}{1-b}\geq 2(1-c)$

  CMTTcho những cái khác ta có kết quả

 $2(\frac{(1-b)(1-c)}{1-a}+\frac{(1-c)(1-a)}{1-b}+\frac{(1-b)(1-a)}{1-c}\geq2(1+1+1-a-b-c)=4$

  => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JokerLegend: 21-04-2014 - 22:38

[lahantaithe99]

$\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ac}{a+c}+\frac{c+ab}{a+b}\geq2$

 

Ta có $\sum \frac{a+bc}{b+c}=\sum \frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}=\sum \frac{(a+b)(a+c)}{b+c}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

 

$\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+c)(b+a)}{a+c}\geqslant 2(a+b)$

 

$\frac{(b+c)(b+a)}{c+a}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geqslant 2(b+c)$

 

$\frac{(b+a)(c+a)}{c+b}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geqslant 2(a+c)$

 

Cộng theo vế và rút gọn ta thu đc $\sum \frac{a+bc}{b+c}\geqslant 2(a+b+c)=2$