Chủ đề này có 4 trả lời

[Mary Huynh]

Cho $a^{2} +b^{2} +c^{2} =7$ Cm: $ab+bc+ca+a+b+c \leq 12$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mary Huynh: 22-04-2014 - 16:42

[Christian Goldbach]

Ta có $a^2+b^2+c^2+1\geq \frac{2}{\sqrt{3}}(a+b+c);\frac{2}{\sqrt{3}}(a^2+b^2+c^2)\geq \frac{2}{\sqrt{3}}(ab+bc+ca)\Rightarrow a+b+c+ab+bc+ca\leq 12$

[Binh Le]

Cho $a^{2} +b^{2} +c^{2} =1$ Cm: $ab+bc+ca+a+b+c \leq 12$

Đề bài cho hơi vô lí 

Vì với gt bài toán ,dễ dàng nhận đc$a,b,c\in \left [ -1;1 \right ]$

nên $ab+bc+ca+a+b+c< 1.1+1.1+1.1+1+1+1=6< 12(dpcm)$

[einstein627]

Đề số xấu quá nhỉ

$(a-b)^{2}\geq 0\Rightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab$

Tương tự

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ (1)

$\Leftrightarrow 7\geq ab+bc+ca$

Áp dụng BDT cauchy ta có

$a^{2}+\frac{7}{3}\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}\left |a \right |\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}a$

Tương tự ta có

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+7\geq 2\sqrt{\frac{7}{3}}(a+b+c)$ 

suy ra

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+7}{2\sqrt{\frac{7}{3}}}=\frac{14}{2\sqrt{\frac{7}{3}}}=\sqrt{21}\geq a+b+c$ (2)

Cộng từng vế 1 và 2  ta có

$12> \sqrt{21}+7\geq ab+bc+ca+a+b+c$

Dấu đẳng thức không sảy ra ta có dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi einstein627: 22-04-2014 - 17:56

[Mary Huynh]

Ta có :$ab+bc+ca \leq a^{2}+b^{2} +c^{2}  =7$ 
$2a \leq a^{2} +1$
$2b\leq b^{2} +1$
$2c\leq c^{2} +1$ 
$=> a+b+c \leq 5$ =>....
dấu ''=''ko xảy ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mary Huynh: 22-04-2014 - 21:40