Chủ đề này có 4 trả lời

[lovemathforever99]

Tìm các số nguyên $x$ thỏa mãn:

$$x^{3}+8=7\sqrt{8x+1}$$

 

 

 

 

--------------

Có thể bỏ điều kiện $x$ nguyên để giải PT luôn không nhỉ?

[HoangHungChelski]

ĐK $x\geq 0$ (do x nguyên)
Áp dụng BĐT Cauchy: 
$5.\sqrt{8x+1}\leq 13+4x\Rightarrow 5(x^3+8)\leq 7(13+4x)\Leftrightarrow 5x^3-28x-51\leq 0\Leftrightarrow (x-3)(5x^2-15x+17)\leq 0\Leftrightarrow x-3\leq 0\Rightarrow x\leq 3$
Đến đây xét từng giá trị của x (kết hợp với ĐK), ta thấy $x=3$ thỏa mãn.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là $x=3$

[einstein627]

ĐK $x\geq 0$ (do x nguyên)
Áp dụng BĐT Cauchy: 
$5.\sqrt{8x+1}\leq 13+4x\Rightarrow 5(x^3+8)\leq 7(13+4x)\Leftrightarrow 5x^3-28x-51\leq 0\Leftrightarrow (x-3)(5x^2-15x+17)\leq 0\Leftrightarrow x-3\leq 0\Rightarrow x\leq 3$
Đến đây xét từng giá trị của x (kết hợp với ĐK), ta thấy $x=3$ thỏa mãn.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là $x=3$

đoạn đó bạn cauchy kiểu gì hay vậy chẳng lẽ mò dấu bằng   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi einstein627: 22-04-2014 - 16:58

[HoangHungChelski]

đoạn đó bạn cauchy kiểu gì hay vậy chẳng lẽ mò dấu bằng   

mò thôi chứ bài này làm theo cách tự nhiên nhất cũng khó 

[Binh Le]

Mình góp thêm một cách tự nhiên hơn cho bài toán này

ĐK để pt có no là $x> 0$

Khi đó :

Bình phương 2 vế ta được pt trên tương đương với 

$(x^{3}+8)^{2}=49(8x+1)\Leftrightarrow x^{6}+16x^{3}-392x+15=0\Leftrightarrow (x-3)(x^{5}+3x^{4}+9x^{3}+43x^{2}+129x-5)= 0$

nên $x=3$ hoặc $(x^{5}+3x^{4}+9x^{3}+43x^{2}+129x-5)=0$

Dễ thấy với $x\geq 1$ thì $x^{5}+3x^{4}+9x^{3}+43x^{2}+129x-5> 0$

Vậy pt có no nguyên duy nhất là $x=3$