Với x ,y là 2 số dương. Chứng minh $ \frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{x+y}$
CM : $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{x+y}$
#1
Đã gửi 23-04-2014 - 13:41
#2
Đã gửi 23-04-2014 - 14:27
Với x ,y là 2 số dương. Chứng minh $ \frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{x+y}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$(x+y)(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y})\geq (\sqrt{x}.\frac{a}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}.\frac{b}{\sqrt{y}})^2=(a+b)^2$ $(1)$
Vì $x;y>0 \Rightarrow x+y>0$
Chia hai vế $(1)$ cho $x+y>0$, ta thu được đpcm
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$
------------------------------------------------------------
Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Svác-sơ (hay BCS dạng Engel, Bunhiacopxki phân thức,...)
Tổng quát:
$\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+\frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+\frac{a_{n}^2}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2}{b_{1}+b_{2}+..+b_{n}}\forall n\geq2$
Dễ dàng chứng minh theo Bunhiacopxki
Dấu đẳng thức xảy ra giống như trong Bunhiacopxki
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-04-2014 - 14:28
- chit_in, Near Ryuzaki, firetiger05 và 2 người khác yêu thích
#4
Đã gửi 24-04-2014 - 01:20
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
$(x+y)(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y})\geq (\sqrt{x}.\frac{a}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}.\frac{b}{\sqrt{y}})^2=(a+b)^2$ $(1)$
Vì $x;y>0 \Rightarrow x+y>0$
Chia hai vế $(1)$ cho $x+y>0$, ta thu được đpcm
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$
------------------------------------------------------------
Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Svác-sơ (hay BCS dạng Engel, Bunhiacopxki phân thức,...)
Tổng quát:
$\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+\frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+\frac{a_{n}^2}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2}{b_{1}+b_{2}+..+b_{n}}\forall n\geq2$
Dễ dàng chứng minh theo Bunhiacopxki
Dấu đẳng thức xảy ra giống như trong Bunhiacopxki
Bạn có cách nào đơn giản hơn không vì đây là bài thi học kì lớp 8 sáng nay mình không làm được
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh