Chủ đề này có 4 trả lời

[chit_in]

Với x ,y là 2 số dương. Chứng minh $ \frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{x+y}$

[Super Fields]

Với x ,y là 2 số dương. Chứng minh $ \frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{x+y}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

 

$(x+y)(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y})\geq (\sqrt{x}.\frac{a}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}.\frac{b}{\sqrt{y}})^2=(a+b)^2$    $(1)$

 

Vì $x;y>0 \Rightarrow x+y>0$

 

Chia hai vế $(1)$ cho $x+y>0$, ta thu được đpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

 

------------------------------------------------------------

 

Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Svác-sơ (hay BCS dạng Engel, Bunhiacopxki phân thức,...)

 

Tổng quát:

 

$\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+\frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+\frac{a_{n}^2}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2}{b_{1}+b_{2}+..+b_{n}}\forall n\geq2$

 

Dễ dàng chứng minh theo Bunhiacopxki 

 

Dấu đẳng thức xảy ra giống như trong Bunhiacopxki

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-04-2014 - 14:28

[Tran Nho Duc]

Với x ,y là 2 số dương. Chứng minh $ \frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{2}}{x+y}$

Đây là dạng phân số của BDT Cauchy-schwarz !!

[chit_in]

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

 

$(x+y)(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y})\geq (\sqrt{x}.\frac{a}{\sqrt{x}}+\sqrt{y}.\frac{b}{\sqrt{y}})^2=(a+b)^2$    $(1)$

 

Vì $x;y>0 \Rightarrow x+y>0$

 

Chia hai vế $(1)$ cho $x+y>0$, ta thu được đpcm

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$

 

------------------------------------------------------------

 

Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Svác-sơ (hay BCS dạng Engel, Bunhiacopxki phân thức,...)

 

Tổng quát:

 

$\frac{a_{1}^2}{b_{1}}+\frac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+\frac{a_{n}^2}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2}{b_{1}+b_{2}+..+b_{n}}\forall n\geq2$

 

Dễ dàng chứng minh theo Bunhiacopxki 

 

Dấu đẳng thức xảy ra giống như trong Bunhiacopxki

 

Bạn có cách nào đơn giản hơn không vì đây là bài thi học kì lớp 8 sáng nay mình không làm được

[Super Fields]

Bạn có cách nào đơn giản hơn không vì đây là bài thi học kì lớp 8 sáng nay mình không làm được

Có bất đẳng thức Bunhiacopxki quen thuộc:

 

$(a^2+b^2)(x^2+y^2) \geq (ax+by)^2$