Đến nội dung

Hình ảnh

Phương trình $x^2-(m-1)^2x+m=0$ có các nghiệm đều nguyên.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

Tìm tất cả các số nguyên $m\geq 0$ sao cho phương trình
$$x^2-(m-1)^2x+m=0$$ có các nghiệm đều nguyên.



#2
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Tìm tất cả các số nguyên $m\geq 0$ sao cho phương trình
$$x^2-(m-1)^2x+m=0$$ có các nghiệm đều nguyên.

Anh giải như thế này...chưa biết đúng hay sai nữa :

 

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên là biệt thức là một chính phương :

$\Delta =(m-1)^{4}-4m=k^{2}(k\in \mathbb{Z})\\$

Dễ thấy m=0 khi đó biệt thức còn $(m-1)^{4}$ nên là một số chính phương (thỏa mãn).Giờ xét $m>0$

Đặt $y=m-1 ( y \in \mathbb{Z})$ khi đó :

$(m-1)^{4}-4m=y^{4}-4(y+1)=y^{4}-4y-4\\=(y^{2}-2)^{2}+(2y-1)^{2}-9=k^{2}\\ \Leftrightarrow (y^{2}-2)^{2}+(2y-1)^{2}=m^{2}+3^{2}\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} y^{2}-2=m\\ 2y-1=3 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} y^{2}-2=3\\ 2y-1=m \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} m=y^{2}-2=2\\ y=2(TM) \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} y^{2}=5(L)\\ m=2y-1 \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix}$

Suy ra $m=3$.Thử lại phương trình ban đâu ta thấy thỏa mãn.

Vậy $m=0,3$ là yêu cầu của bài toán.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 28-04-2014 - 15:27

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#3
Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết

Anh giải như thế này...chưa biết đúng hay sai nữa :

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên là biệt thức là một chính phương :

$\Delta =(m-1)^{4}-4m=k^{2}(k\in \mathbb{Z})\\$

Đặt $y=m-1 ( y \in \mathbb{Z})$ khi đó :

$(m-1)^{4}-4m=y^{4}-4(y+1)=y^{4}-4y-4\\=(y^{2}-2)^{2}+(2y-1)^{2}-9=k^{2}\\ \Leftrightarrow (y^{2}-2)^{2}+(2y-1)^{2}=m^{2}+3^{2}\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} y^{2}-2=m\\ 2y-1=3 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} y^{2}-2=3\\ 2y-1=m \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} m=y^{2}-2=2\\ y=2(TM) \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} y^{2}=5(L)\\ m=2y-1 \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix}$

Suy ra $m=3$.Thử lại phương trình ban đâu ta thấy thỏa mãn.

Vậy $m=3$ là yêu cầu của bài toán.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

sao em thay m=0 vào vẫn thỏa mãn bài toán mà @@


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Le Yen Nhi: 27-04-2014 - 23:10


#4
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

sao em thay m=0 vào vẫn thỏa mãn bài toán mà @@

Anh sửa lại rồi em .Cảm ơn em


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#5
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Anh giải như thế này...chưa biết đúng hay sai nữa :

 

Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên là biệt thức là một chính phương :

$\Delta =(m-1)^{4}-4m=k^{2}(k\in \mathbb{Z})\\$

Dễ thấy m=0 khi đó biệt thức còn $(m-1)^{4}$ nên là một số chính phương (thỏa mãn).Giờ xét $m>0$

Đặt $y=m-1 ( y \in \mathbb{Z})$ khi đó :

$(m-1)^{4}-4m=y^{4}-4(y+1)=y^{4}-4y-4\\=(y^{2}-2)^{2}+(2y-1)^{2}-9=k^{2}\\ \Leftrightarrow (y^{2}-2)^{2}+(2y-1)^{2}=m^{2}+3^{2}\\ \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} y^{2}-2=m\\ 2y-1=3 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} y^{2}-2=3\\ 2y-1=m \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} m=y^{2}-2=2\\ y=2(TM) \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} y^{2}=5(L)\\ m=2y-1 \end{matrix}\right.\\ \end{bmatrix}$

Suy ra $m=3$.Thử lại phương trình ban đâu ta thấy thỏa mãn.

Vậy $m=0,3$ là yêu cầu của bài toán.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cần một chút bổ sung cho chặt chẽ đó là việc nếu tìm được giá trị khác của $m$ cũng thỏa mãn bài toán thì lời giải trên sẽ sai (chẳng hạn $m=0$)>Do đó cần làm thêm một thao tác đó là :Chứng minh với $m>3$ thì biệt thức của bài toán trên sẽ không phải chính phương.Điều đó đã được chứng minh tại đây (do chính chủ bài toán giải ).


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.


#6
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

Cần một chút bổ sung cho chặt chẽ đó là việc nếu tìm được giá trị khác của $m$ cũng thỏa mãn bài toán thì lời giải trên sẽ sai (chẳng hạn $m=0$)>Do đó cần làm thêm một thao tác đó là :Chứng minh với $m>3$ thì biệt thức của bài toán trên sẽ không phải chính phương.Điều đó đã được chứng minh tại đây (do chính chủ bài toán giải ).

Anh ơi, cái chỗ thử $m=0$ là được phép thử ngay $m=0$ à anh? 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#7
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

Anh ơi, cái chỗ thử $m=0$ là được phép thử ngay $m=0$ à anh? 

À thì em à do $m$ nằm ở hệ số $c$ của tam thức trên nên ta thử ngay $m=0$ thì biệt thức là số chính phương.Còn để xác thực xem nghiệm đó có nguyên hay không ta cần thử lại.


KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh