Bài làm của MSS 13:Bùi Minh Hiếu:
Giải:
Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $I$ ; đường thẳng qua $I$ cắt $BC$ tại $M,N$ là $d$
Xét 2 trường hợp :
TH1: $d$ song song $BC$
Theo định lí $Talet$ ta được:
$\frac{AM}{BM}=\frac{AI}{ID};\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{ID}$
$\Rightarrow \frac{AN.AM}{BM.CN}=(\frac{AI}{ID})^{2}$
Lại có $\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AB+AC}{CB}$(Do $BI;CI$ là các đường phân giác trong góc $B;C$)
Do đó $\frac{AM.AN}{BM.CN}=(\frac{AB+AC}{BC})^{2}\geq \frac{4AB.AC}{BC^{2}}$(theo $BĐT$ $AM-GM$)
Do đó $\frac{BM.CN}{AM.AN}\leq \frac{BC^{2}}{4AB.AC}$(1)
Untitled2.png
TH2: $MN$ không song song $BC$ Không mất tính tổng quát giả sử $d$ cắt $BC$ tại mặt phẳng bờ $AB$ không chứa $C$ .Gọi giao $d$ với $BC$ là $K$
Áp dụng định lí $Menelaus$ Ta được
$\Delta ABD$ có $K,M,I$ thẳng hàng:$\frac{MA}{MB}=\frac{IA}{ID}.\frac{KD}{KB}$
$\Delta ACD$ có $K,I,N$ thẳng hàng :$\frac{AN}{CN}=\frac{KC}{KD}.\frac{IA}{ID}$
Do đó $\frac{AM.AN}{BM.CN}=(\frac{IA}{ID})^{2}.\frac{KC}{KB}>(\frac{IA}{ID})^{2}$(Do $KC>KB$ theo điều giả sử)
$=(\frac{AB+AC}{BC})^{2}\geq \frac{4AB.AC}{BC^{2}}$
$\rightarrow \frac{BM.CN}{AM.AN}< \frac{BC^{2}}{4AB.CA}$(2)
Untitled.png
Từ (1) và (2) ta được
$\frac{BM.CN}{AM.AN}\leq \frac{BC^{2}}{4AB.AC}$
Dấu "=" khi $AB=AC$ và $MN$ song song $BC$
Vậy $\frac{BM.CN}{AM.AN}\leq \frac{BC^{2}}{4AB.AC}$
Dấu"=" khi ...
p/s:Ảo tung chảo
_______
Kể cả khi sửa bài làm vẫn sai...
d = 4
S = 13.3
Có sai đâu anh:
Cho em sửa :
$\Delta ABD$ có $K,M,I$ thẳng hàng:$\frac{MA}{MB}=\frac{IA}{ID}.\frac{KD}{KB}$
$\Delta ACD$ có $K,I,N$ thẳng hàng :$\frac{AN}{CN}=\frac{KD}{KC}.\frac{IA}{ID}$
Từ đó :
$\frac{AM.AN}{BM.CN}=\frac{KD^{2}}{KB.KC}.(\frac{IA}{ID})^{2}=\frac{KD^{2}}{KB.KC}.(\frac{AB+AC}{CB})^{2}$
Đặt $KB=x;BD=y;DC=z$ Khi đó:
$\frac{AM.AN}{BM.CN}=\frac{KD^{2}}{KB.KC}.\frac{(AB+AC)^{2}}{BC^{2}}$
$=\frac{(AB+AC)^{2}.(x+y)^{2}}{(x+y+z)x.BC^{2}}$
Suy ra ĐPCM$\Leftrightarrow (AB+AC)^{2}(x+y)^{2}\geq 4(x+y+z)x.AB.AC$
$\Leftrightarrow (\frac{AB}{AC}+1)^{2}(x+y)^{2}\geq 4(x+y+z)x\frac{AB}{AC}$
Mà $\frac{AB}{AC}=\frac{y}{z}\Rightarrow$
BĐT$\Leftrightarrow$$(y+z)^{2}(x+y)^{2}\geq 4xz(y^{2}+yx+yz)\Leftrightarrow (y^{2}+xy+yz-zx)^{2}\geq 0$(LĐ)
Dấu "="không xảy ra
Untitled4.png 111.07K
0 Số lần tải