Tìm đa thức bậc hai sao cho f(x)-f(x-1)=x. Áp dụng tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n.
Tìm đa thức bậc hai sao cho f(x)-f(x-1)=x
#1
Đã gửi 26-04-2014 - 16:29
#2
Đã gửi 26-04-2014 - 18:57
Giả sử $f(x)=ax^2+bx+c$ (do đề bài cho là đa thức bậc hai)
Suy ra
$f(x)-f(x-1)=ax^2+bx+c-a(x-1)^2-b(x-1)-c=2ax+a+b$
Mà $f(x)-f(x-1)=x$
$\Rightarrow 2ax+a+b=x$
Do đó $a+b =0$ và $a=1/2$ từ đó ta suy ra $a=1/2;b=-1/2$
Do đó $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}+c$
$f(n)=1+2+3+...+n$
Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì:
$f(1)-f(0)=1$
$f(2)-f(1)=2$
....
$f(n)-f(n-1)=n$
Do đó
$1+2+...+n=f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+...+f(n)-f(n-1)=f(n)-f(0)=\dfrac{n^2}{2}-\dfrac{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 26-04-2014 - 18:58
- nhuleynguyen và mintscute thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#3
Đã gửi 26-04-2014 - 19:46
Chị giải thích chỗ a+b=0 và a=1/2 được không? Bài này em cũng làm được đến đó rồi tắc luôn
#4
Đã gửi 27-04-2014 - 16:56
Chị giải thích chỗ a+b=0 và a=1/2 được không? Bài này em cũng làm được đến đó rồi tắc luôn
Điều kiện của đa thức bậc 2 là: $a \ne 0$
Biến đổi ra là: \[{\rm{2ax}} + a + b = 1.x + 0\] \[ \Rightarrow 2{\rm{a}} = 1\] và a+b=0
- SuperReshiram yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh