3 replies to this topic

[SuperReshiram]

Tìm đa thức bậc hai sao cho f(x)-f(x-1)=x. Áp dụng tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n.

[Oral1020]

Giả sử $f(x)=ax^2+bx+c$ (do đề bài cho là đa thức bậc hai)
Suy ra

$f(x)-f(x-1)=ax^2+bx+c-a(x-1)^2-b(x-1)-c=2ax+a+b$

Mà $f(x)-f(x-1)=x$

$\Rightarrow 2ax+a+b=x$

Do đó $a+b =0$ và $a=1/2$ từ đó ta suy ra $a=1/2;b=-1/2$

Do đó $f(x)=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}+c$

$f(n)=1+2+3+...+n$

Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì:
$f(1)-f(0)=1$

$f(2)-f(1)=2$

....

$f(n)-f(n-1)=n$

Do đó

$1+2+...+n=f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+...+f(n)-f(n-1)=f(n)-f(0)=\dfrac{n^2}{2}-\dfrac{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$

Edited by Oral1020, 26-04-2014 - 18:58.

[SuperReshiram]

Chị giải thích chỗ a+b=0 và a=1/2 được không? Bài này em cũng làm được đến đó rồi tắc luôn

[bach7a5018]

Chị giải thích chỗ a+b=0 và a=1/2 được không? Bài này em cũng làm được đến đó rồi tắc luôn

Điều kiện của đa thức bậc 2 là: $a \ne 0$ 

Biến đổi ra là: \[{\rm{2ax}} + a + b = 1.x + 0\] \[ \Rightarrow 2{\rm{a}} = 1\] và a+b=0