Chủ đề này có 4 trả lời

[xCaroZ]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm.Chứng minh rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+ \sqrt[3]{abc})^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 28-04-2014 - 07:18

[LakcOngtU]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm.Chứng minh rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+ \sqrt[3]{abc})^3$

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ (1)

Vậy bất đẳng thức sẽ đúng nếu ta chứng minh được rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+\frac{a+b+c}{3})^3$

 Hay           $27(1+a)(1+b)(1+c) \geq (3+a+b+c)^3$ (2)

Theo hệ quả của bất đẳng thức (1) thì bất dẳng thức (2) luôn đúng khi ta lập phương 2 vế và áp dụng cho $a=1+a,b=1+b,c=1+c$

Suy ra đpcm

Dấu $"="$ xảy ra  $\Leftrightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LakcOngtU: 28-04-2014 - 08:06

[Phuong Thu Quoc]

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm.Chứng minh rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+ \sqrt[3]{abc})^3$

Ta áp dụng AM-GM được

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3.\frac{1}{\sqrt[3]{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}}$

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}}$

Cộng 2 BDDT vào ta được đpcm..

*Bạn có thể tìm hiểu thêm về BĐT Holder

[Lugiahooh]

Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ (1)

Vậy bất đẳng thức sẽ đúng nếu ta chứng minh được rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+\frac{a+b+c}{3})^3$

 Hay           $27(1+a)(1+b)(1+c) \geq (3+a+b+c)^3$ (2)

Theo hệ quả của bất đẳng thức (1) thì bất dẳng thức (2) luôn đúng khi ta lập phương 2 vế và áp dụng cho $a=1+a,b=1+b,c=1+c$

Suy ra đpcm

Dấu $"="$ xảy ra  $\Leftrightarrow a=b=c$

Bất đẳng thức bị ngược dấu bạn nhé!

[KietLW9]

$(1+a)(1+b)(1+c)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^{3}$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học