Cho $a,b,c$ là các số thực không âm.Chứng minh rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+ \sqrt[3]{abc})^3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 28-04-2014 - 07:18
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm.Chứng minh rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+ \sqrt[3]{abc})^3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 28-04-2014 - 07:18
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm.Chứng minh rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+ \sqrt[3]{abc})^3$
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ (1)
Vậy bất đẳng thức sẽ đúng nếu ta chứng minh được rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+\frac{a+b+c}{3})^3$
Hay $27(1+a)(1+b)(1+c) \geq (3+a+b+c)^3$ (2)
Theo hệ quả của bất đẳng thức (1) thì bất dẳng thức (2) luôn đúng khi ta lập phương 2 vế và áp dụng cho $a=1+a,b=1+b,c=1+c$
Suy ra đpcm
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LakcOngtU: 28-04-2014 - 08:06
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm.Chứng minh rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+ \sqrt[3]{abc})^3$
Ta áp dụng AM-GM được
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3.\frac{1}{\sqrt[3]{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}}$
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}}$
Cộng 2 BDDT vào ta được đpcm..
*Bạn có thể tìm hiểu thêm về BĐT Holder
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có $a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ (1)
Vậy bất đẳng thức sẽ đúng nếu ta chứng minh được rằng $(1+a)(1+b)(1+c) \geq (1+\frac{a+b+c}{3})^3$
Hay $27(1+a)(1+b)(1+c) \geq (3+a+b+c)^3$ (2)
Theo hệ quả của bất đẳng thức (1) thì bất dẳng thức (2) luôn đúng khi ta lập phương 2 vế và áp dụng cho $a=1+a,b=1+b,c=1+c$
Suy ra đpcm
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$
Bất đẳng thức bị ngược dấu bạn nhé!
Gió
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh