Cho $a,b,c$ là các số thực tùy ý
a:Chứng minh rằng :$2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}+4\sqrt[4]{c} \geq 9\sqrt[9]{abc}$
b:Chứng minh rằng :$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$
a)
Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có
$\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{c}\geqslant 9\sqrt[9]{abc}$
b) Áp dụng $AM-GM$
$\frac{ab}{c^2}+\frac{b}{a}\geqslant \frac{2b}{c};\frac{ab}{c^2}+\frac{a}{b}\geqslant \frac{2a}{c}$
$\frac{bc}{a^2}+\frac{b}{c}\geqslant \frac{2b}{a};\frac{bc}{a^2}+\frac{c}{b}\geqslant \frac{2c}{a}$
$\frac{ca}{b^2}+\frac{a}{c}\geqslant \frac{2a}{b};\frac{ca}{b^2}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{2c}{a}$
Cộng theo từng vế và rút gọn ta có đpcm