Chủ đề này có 5 trả lời

[Hermione Granger]

Cho $a,b,c$ là các số không âm thoả mãn điều kiện :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2\left ( ab+bc+ca \right )$

và $p,r,q$ là các số thực thoả mãn điều kiện $p+q+r =0$

Chứng minh rằng: $apq+bqr+crp \leq 0$

[nk0kckungtjnh]

 

Cho $a,b,c$ là các số không âm thoả mãn điều kiện :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2\left ( ab+bc+ca \right )$

và $p,r,q$ là các số thực thoả mãn điều kiện $p+q+r =0$

Chứng minh rằng: $apq+bqr+crp \leq 0$

 

Lời Giải: 

$apq+bqr+crp \leq 0\Leftrightarrow p(aq+cr)+bqr\leq 0$       $ (1) $ 

Từ điều kiện $p+q+r =0$, ta có: $-p=q+r$. Thế thì $(1)\Leftrightarrow (q+r)(aq+cr)\geq bqr$

 

$\Leftrightarrow aq^{2}+cqr+aqr+cr^{2}\geq bqr$ 

 

$\Leftrightarrow qr(a+c-b)+aq^{2}+cr^{2}\geq 0$           

 

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}q+\sqrt{c}r)^{2}-2\sqrt{ac}qr+qr(a+c-b)\geq 0$  

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng: $qr(a+c-b)\geq 2\sqrt{ac}qr$ $\Leftrightarrow (a+c-b) \geq 2\sqrt{ac}$

 

Chú ý rằng với giả thiết $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2\left ( ab+bc+ca \right )$ 

 

thì: $(a+c-b)^{2}-4ac\leq 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow (a+c-b) \geq 2\sqrt{ac}$

Bất Đẳng Thức được chứng minh xong     - - - - - - Solution By Nhân Chính 
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 28-04-2014 - 22:32

[chardhdmovies]

Lời Giải: 

 

 

thì: $(a+c-b)^{2}-4ac\leq 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow (a+c-b) \geq 2\sqrt{ac}$

 

Bất đẳng thức trên đâu phải luôn đúng đâu

[chardhdmovies]

Lời Giải: 

 

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng: $qr(a+c-b)\geq 2\sqrt{ac}qr$ $\Leftrightarrow (a+c-b) \geq 2\sqrt{ac}$

 

 

qr đâu có không âm mà chia được

[chardhdmovies]

ta cần chứng minh $apq+brq+crp\leq 0\Leftrightarrow -r(bq+cp)-apq\geq 0$

$\Leftrightarrow (p+q)(bq+cp)-apq\geq 0$

$\Leftrightarrow bq^2+cp^2+(b+c-a)pq\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{b}\left | q \right |-\sqrt{c}\left | p \right |)^2+2\sqrt{bc}\left | pq \right |+(b+c-a)pq\geq 0$

Mà theo giả thiết $a^2+b^2+c^2\leq 2ab+2ac+2bc$

$\Rightarrow 4bc\geq (b+c-a)^2\Leftrightarrow 2\sqrt{bc}\geq \left | b+c-a \right |$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{bc}\left | pq \right |\geq \left | b+c-a \right |\left | pq \right |\geq -(b+c-a)pq$

Do đó có điều cần chứng minh

[Hermione Granger]

Lời Giải: 

$apq+bqr+crp \leq 0\Leftrightarrow p(aq+cr)+bqr\leq 0$       $ (1) $ 

Từ điều kiện $p+q+r =0$, ta có: $-p=q+r$. Thế thì $(1)\Leftrightarrow (q+r)(aq+cr)\geq bqr$

 

$\Leftrightarrow aq^{2}+cqr+aqr+cr^{2}\geq bqr$ 

 

$\Leftrightarrow qr(a+c-b)+aq^{2}+cr^{2}\geq 0$           

 

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}q+\sqrt{c}r)^{2}-2\sqrt{ac}qr+qr(a+c-b)\geq 0$  

 

Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng: $qr(a+c-b)\geq 2\sqrt{ac}qr$ $\Leftrightarrow (a+c-b) \geq 2\sqrt{ac}$

 

Chú ý rằng với giả thiết $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2\left ( ab+bc+ca \right )$ 

 

thì: $(a+c-b)^{2}-4ac\leq 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow (a+c-b) \geq 2\sqrt{ac}$

Bất Đẳng Thức được chứng minh xong     - - - - - - Solution By Nhân Chính 
 

Nếu $qr \leq  0$ thì sao nhỉ ?