Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Min $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}$+$\sqrt{y+\frac{1}{y^2}}$+$\sqrt{z+\frac{1}{z^2}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Simpson Joe Donald

Simpson Joe Donald

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 293 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh hoá
  • Sở thích:toán học, cờ vua, đá bóng, nghe nhạc,...nói chung là nhiều lắm

Đã gửi 28-04-2014 - 21:13

Cho $x+y+z \leq 1$ . Tìm GTNN của $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}$+$\sqrt{y+\frac{1}{y^2}}$+$\sqrt{z+\frac{1}{z^2}}$ ( $x;y;z$>$0$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 28-04-2014 - 21:24

Câu nói bất hủ nhất của Joker  : 
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"


#2 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 28-04-2014 - 21:33

Cho $x+y+z \leq 1$ . Tìm GTNN của $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}$+$\sqrt{y+\frac{1}{y^2}}$+$\sqrt{z+\frac{1}{z^2}}$ ( $x;y;z$>$0$)

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 

$\sqrt{(x+\frac{1}{x^2})(\frac{1}{3}+9)}\geqslant \sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{3}{x}$

 

$\Rightarrow M\sqrt{\frac{28}{3}}\geqslant \sum \sqrt{\frac{x}{3}}+\sum \frac{3}{x}$ $(1)$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$

 

$\sqrt{\frac{x}{3}}+\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{1}{9x}\geqslant 1$

 

Thiết lập tương tự ta có $\sum \sqrt{\frac{x}{3}}\geqslant \frac{1}{2}(3-\sum \frac{1}{9x})$ $(2)$

 

Từ $(1);(2)$ suy ra $M\sqrt{\frac{28}{3}}\geqslant \frac{3}{2}+\sum \frac{53}{18x}$

 

$\geqslant \frac{3}{2}+\frac{53}{2}=28\Rightarrow M\geqslant 2\sqrt{21}$



#3 nk0kckungtjnh

nk0kckungtjnh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tôn Quang Phiệt - Đồng Văn- Thanh Chương- Nghệ An
  • Sở thích:Làm Toán

Đã gửi 28-04-2014 - 23:55

Cho $x+y+z \leq 1$ . Tìm GTNN của $M$=$\sqrt{x+\frac{1}{x^2}}$+$\sqrt{y+\frac{1}{y^2}}$+$\sqrt{z+\frac{1}{z^2}}$ ( $x;y;z$>$0$)

Lời giải khác: 

Sử dụng BĐT Mincopxki, ta có:

$M\geq \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}$

 

Xét: $(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}$

 

$S=x+y+z+\frac{1}{162}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}+\frac{161}{162}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}$

 

Ta có: $\frac{1}{162}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq \frac{1)}{2.(x+y+z)^{2}}$

 

$\Rightarrow \frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{1}{162}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq \frac{1}{2.(x+y+z)^{2}}+\frac{x+y+z}{2}+\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3}{2}$    ( $By AM - GM$ )

 

Mà $ (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}\geq 3(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\geq (\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})^{2} $

 

$\Rightarrow \frac{160}{161}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2} \geq \frac{160}{161}(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}})^{2}$

 

Sử dụng tách điểm rơi thêm 1 lần nữa ta sẽ tìm đươc $Min M = 2\sqrt{21}$ ; Cực trị đạt được tại tâm

 

P/s: Cách này khá dài nhưng ý tưởng giải quyết thật rất tự nhiên..


             Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng


         Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng

- Nhân Chính -

 


#4 QuynhTam

QuynhTam

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phổ Thông Kăng Khiếu
  • Sở thích:Học toán, ăn, ngủ, chơi game, vẽ.

Đã gửi 01-05-2014 - 16:37

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

 

$\sqrt{(x+\frac{1}{x^2})(\frac{1}{3}+9)}\geqslant \sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{3}{x}$

 

$\Rightarrow M\sqrt{\frac{28}{3}}\geqslant \sum \sqrt{\frac{x}{3}}+\sum \frac{3}{x}$ $(1)$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$

 

$\sqrt{\frac{x}{3}}+\sqrt{\frac{x}{3}}+\frac{1}{9x}\geqslant 1$

 

Thiết lập tương tự ta có $\sum \sqrt{\frac{x}{3}}\geqslant \frac{1}{2}(3-\sum \frac{1}{9x})$ $(2)$

 

Từ $(1);(2)$ suy ra $M\sqrt{\frac{28}{3}}\geqslant \frac{3}{2}+\sum \frac{53}{18x}$

 

$\geqslant \frac{3}{2}+\frac{53}{2}=28\Rightarrow M\geqslant 2\sqrt{21}$

Bạn ơi cho mình hỏi sao bạn đoán điểm rơi dc cái BĐT B.C.S vậy? Chỉ mình dc k?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuynhTam: 01-05-2014 - 16:38

  :ukliam2: Nếu muốn có được những thứ chưa từng có thì bạn phải làm những việc chưa từng làm.  :ukliam2: 


#5 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-05-2014 - 17:36

Bạn ơi cho mình hỏi sao bạn đoán điểm rơi dc cái BĐT B.C.S vậy? Chỉ mình dc k?


những bài ntn thường thì đoán đc dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau, từ đó kết hợp với đk xảy ra dấu bằng của bđt Bcs thì nó ra như thế bạn ạ

#6 QuynhTam

QuynhTam

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phổ Thông Kăng Khiếu
  • Sở thích:Học toán, ăn, ngủ, chơi game, vẽ.

Đã gửi 01-05-2014 - 17:44

những bài ntn thường thì đoán đc dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau, từ đó kết hợp với đk xảy ra dấu bằng của bđt Bcs thì nó ra như thế bạn ạ

bạn ví dụ dùm mình làm sao ra được cái hệ số BĐT bài này được k? thanks nhiều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuynhTam: 01-05-2014 - 17:45

  :ukliam2: Nếu muốn có được những thứ chưa từng có thì bạn phải làm những việc chưa từng làm.  :ukliam2: 


#7 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 01-05-2014 - 17:59

bạn ví dụ dùm mình làm sao ra được cái hệ số BĐT bài này được k? thanks nhiều.

có $\frac{\sqrt{x}}{m}=\frac{1}{xn}$
đoán đc x = bao nhiêu rồi thì cứ thế thay vào chọn gt của m,n bất kỳ thỏa mãn đẳng thức trên sao cho hệ số đơn giản là đc




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh