Chủ đề này có 2 trả lời

[Simpson Joe Donald]

Cho $a^2+b^2+c^2=1$ ($a;b;c>0$)  . 
C/m $P=\frac{a^2}{b^2+c^2}$+$\frac{b^2}{a^2+c^2}$+$\frac{c^2}{a^2+b^2}$ $\geq$ $3$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 28-04-2014 - 21:29

[buiminhhieu]

Cho $a^2+b^2+c^2=1$ ($a;b;c>0$)  . 
C/m $P=\frac{a^2}{b^2+c^2}$+$\frac{b^2}{a^2+c^2}$+$\frac{c^2}{a^2+b^2}$ $\geq$ $3$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Sai đề 

Cho $a^{2}=b^{2}=c^{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow P=\frac{3}{2}<\frac{3\sqrt{3}}{2}$

[nk0kckungtjnh]

Cho $a^2+b^2+c^2=1$ ($a;b;c>0$)  . 
C/m $P=\frac{a^2}{b^2+c^2}$+$\frac{b^2}{a^2+c^2}$+$\frac{c^2}{a^2+b^2}$ $\geq$ $3$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

 

Sai đề 

Cho $a^{2}=b^{2}=c^{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow P=\frac{3}{2}<\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Đề đúng phải là: 

" Cho các số dương $a,b,c$ có $a^{2}+b^{2}+c^{2}$. Chứng minh rằng:

$P=\frac{a}{b^2+c^2}$+$\frac{b}{a^2+c^2}$+$\frac{c}{a^2+b^2}$ $\geq$ $3$.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ "

Lời Giải: 

Bất Đẳng Thức cần chứng minh tương đương: 

$\frac{a}{1-a^{2}}+\frac{b}{1-b^{2}}+\frac{c}{1-c^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

Xét hàm $f(x)=\frac{x}{1-x^{2}}=\frac{x^{2}}{x(1-x^{2})}$

 

Xét $S=x(1-x^{2})\Rightarrow 2S^{2}=2x^{2}.(1-x^{2})(1-x^{2})$. Áp dụng $BĐT$  $AM - GM $.

 

$2S^{2}\leq \frac{8}{27}\Rightarrow S\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$. Do đó $f(x)\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.x^{2}$

 

Thay $x$ bởi $a,b,c$ rồi cộng 3 $BĐT$ lại, ta có $ĐPCM$           - - - - - Solution By Nhân Chính