Chủ đề này có 3 trả lời

[nevermore1104]

1.Tìm m;n nguyên dương thỏa mãn : $(n^{3}+1)\vdots (mn-1)$

 

2.Tìm số nguyên tố p và a,b,c nguyên dương thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} p=a^{2}+b^{2}+c^{2} & \\ a^{4}+b^{4}+c^{4}\vdots p & \end{matrix}\right.$

 

3.Tìm số nguyên tố p và m,n nguyên dương thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} p=n^{^{2}}+m^{2} & \\ m^{3}+n^{3}-4\vdots p & \end{matrix}\right.$

 

4.Tìm a,b,c nguyên dương thỏa mãn: a!b!=a!+b!+c!

 

5.Tìm số nguyên tố p thỏa mãn: $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố

[hoctrocuaZel]

5.Tìm số nguyên tố p thỏa mãn: $4p^{2}+1$ và $6p^{2}+1$ cũng là số nguyên tố

Bài 5:

Xét p=5k$\pm$1 thì $4p^2+1$ chia hết 5 (loại)

Xét p=5k$\pm$2 thì $6p^2+1$ chia hết 5 (loại)

Vậy p=5k => p=5 (thỏa mãn)

[HoangHungChelski]

 

2.Tìm số nguyên tố p và a,b,c nguyên dương thỏa mãn:
$\left\{\begin{matrix} p=a^{2}+b^{2}+c^{2} & \\ a^{4}+b^{4}+c^{4}\vdots p & \end{matrix}\right.$

 

 

2. Giả sử $a\geq b\geq c\geq 1$

Ta có: $p^2=a^4+b^4+c^4+2(\sum a^2b^2)$$\Rightarrow 2(\sum a^2b^2)\vdots p\Rightarrow \sum a^2b^2\vdots p\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2(p-b^2-c^2)\vdots p\Rightarrow a^2b^2-c^4\vdots p\Rightarrow (ab-c^2)(ab+c^2)\vdots p$
Ta thấy: $1< ab+c^2< 2ab+c^2\leq a^2+b^2+c^2= p$$\Rightarrow (ab+c^2;p)=1\Rightarrow ab-c^2\vdots p$ (1)
Mặt khác: $a\geq b\geq c\geq 1\Rightarrow 0\leq ab-c^2< ab+c^2< a^2+b^2+c^2=p$ (2)
(1),(2)$\Rightarrow ab-c^2=0\Leftrightarrow ab=c^2\rightarrow p=3a^2\Rightarrow a^2=1=b=c$
Vậy $a=b=c=1$ thỏa mãn.

[HoangHungChelski]

1.Tìm m;n nguyên dương thỏa mãn : $(n^{3}+1)\vdots (mn-1)$

$n^3+1\vdots mn-1\Rightarrow m(n^3+1)\vdots mn-1\Rightarrow mn^3-n^2+n^2+m\vdots mn-1\Rightarrow n^2+m\vdots mn-1$
Đặt $n^2+m=k(mn-1)(k\in \mathbb{Z^+})\Leftrightarrow k+m=n(km-n)$$\Rightarrow k+m\vdots n\Rightarrow k+m=nq$ (q nguyên dương)
$\Rightarrow km-n=q\Leftrightarrow km=n+q$
Ta có $(k-1)(m-1)=km-k-m+1=n+q-nq+1=q-1-n(q-1)+2=(1-n)(q-1)+2\geq 0\Leftrightarrow (n-1)(q-1)\leq 2\Rightarrow (n-1)(q-1)=0;1;2$
(vì $m,n,k,q\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow m-1,n-1,k-1,q-1\geq 0$)
Xét các trường hợp rồi giải phương trình ước só để tìm $m,n$