Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{x}{x^{2}-yz+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 29-04-2014 - 21:38

Cho các số dương x, y, z thoả mãn điểu kiện $xy+yz+zx=670$. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}+\frac{y}{y^{2}-zx+2010}+\frac{z}{z^{2}-xy+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$

 



#2 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 29-04-2014 - 21:51

Cho các số dương x, y, z thoả mãn điểu kiện $xy+yz+zx=670$. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}+\frac{y}{y^{2}-zx+2010}+\frac{z}{z^{2}-xy+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$

Theo Bunhiacopxki có:$\sum \frac{x}{x^2-yz+2010}=\sum \frac{x^2}{x^3-xyz+2010x}\geq \frac{(\sum x)^2}{\sum x^3-3xyz+2010(\sum x)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2-\sum yz)+2010\sum x}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2-\sum yz+2010)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2-670+2010)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2+2\sum xy)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)^3}=\frac{1}{x+y+z}$



#3 huythcsminhtan

huythcsminhtan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-04-2014 - 21:58



 ​$\sum \frac{x}{x^2-yz+2010}= \sum \frac{x^2}{x^3-xyz+2010x} \ge \frac{(x+y+z)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz+2010})$

 

Dễ dang nhận thấy $2010=3(xy+yz+xz)$

 

Thay vào $\sum \frac{x}{x^2-yz+2010} \ge \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)}=\frac{1}{x+y+z}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 29-04-2014 - 22:03

$\bigstar$ Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có $\bigstar$

 
  $\bigstar$ Perfect numbers like perfect men are very rare. $\bigstar$ 
 
                                                                                                   
                                                                                       ____ Rene Descartes ____

#4 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 29-04-2014 - 22:01

Cho các số dương x, y, z thoả mãn điểu kiện $xy+yz+zx=670$. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}+\frac{y}{y^{2}-zx+2010}+\frac{z}{z^{2}-xy+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$

Ta có :

$\frac{x}{x^2-yz+2010}=\frac{x}{x^2+2yz+3xy+3xz}=\frac{x^2}{x^3+2xyz+3x^2y+3x^2z}\Rightarrow \sum \frac{x}{x^2-yz+2010}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3}=\frac{1}{x+y+z}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh