Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{x}{x^{2}-yz+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết

Cho các số dương x, y, z thoả mãn điểu kiện $xy+yz+zx=670$. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}+\frac{y}{y^{2}-zx+2010}+\frac{z}{z^{2}-xy+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$

 



#2
Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết

Cho các số dương x, y, z thoả mãn điểu kiện $xy+yz+zx=670$. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}+\frac{y}{y^{2}-zx+2010}+\frac{z}{z^{2}-xy+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$

Theo Bunhiacopxki có:$\sum \frac{x}{x^2-yz+2010}=\sum \frac{x^2}{x^3-xyz+2010x}\geq \frac{(\sum x)^2}{\sum x^3-3xyz+2010(\sum x)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2-\sum yz)+2010\sum x}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2-\sum yz+2010)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2-670+2010)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)(\sum x^2+2\sum xy)}=\frac{(\sum x)^2}{(\sum x)^3}=\frac{1}{x+y+z}$



#3
huythcsminhtan

huythcsminhtan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết


 ​$\sum \frac{x}{x^2-yz+2010}= \sum \frac{x^2}{x^3-xyz+2010x} \ge \frac{(x+y+z)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010(x+y+z)}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz+2010})$

 

Dễ dang nhận thấy $2010=3(xy+yz+xz)$

 

Thay vào $\sum \frac{x}{x^2-yz+2010} \ge \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz)}=\frac{1}{x+y+z}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 29-04-2014 - 22:03

$\bigstar$ Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có $\bigstar$

 
  $\bigstar$ Perfect numbers like perfect men are very rare. $\bigstar$ 
 
                                                                                                   
                                                                                       ____ Rene Descartes ____

#4
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Cho các số dương x, y, z thoả mãn điểu kiện $xy+yz+zx=670$. Chứng minh rằng:

$\frac{x}{x^{2}-yz+2010}+\frac{y}{y^{2}-zx+2010}+\frac{z}{z^{2}-xy+2010}\geq \frac{1}{x+y+z}$

Ta có :

$\frac{x}{x^2-yz+2010}=\frac{x}{x^2+2yz+3xy+3xz}=\frac{x^2}{x^3+2xyz+3x^2y+3x^2z}\Rightarrow \sum \frac{x}{x^2-yz+2010}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^3}=\frac{1}{x+y+z}$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh