Chủ đề này có 2 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=3$
Cmr:
$\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

[Hoang Tung 126]

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=3$
Cmr:
$\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

Theo AM-GM có:$\sum \frac{a}{a^2+2b+3}=\sum \frac{a}{(a^2+1)+2b+2}\leq \sum \frac{a}{2a+2b+2}=\frac{1}{2}\sum \frac{a}{a+b+1}$

Do đó cần CM :$\sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1< = > \sum \frac{b+1}{a+b+1}\geq 2$

Theo Cauchy-Swtach có:$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}\geq \frac{(\sum a+3)^2}{\sum (b+1)(a+b+1)}=2$

[Vu Thuy Linh]

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2=3$
Cmr:
$\sum \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{1}{2}$

$\frac{a}{a^{2}+2b+3}=\frac{a}{(a^{2}+1)+2b+2}\leq \frac{a}{2(a+b+1)}$

CMTT => BDT cần chứng minh tương đương với:

$\sum \frac{a}{2(a+b+1)}\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a+b+1}\leq 1\Leftrightarrow \sum (1-\frac{a}{a+b+1})\geq 3-1=2$

Ta có:

$\sum \frac{b+1}{a+b+1}=\sum \frac{(b+1)^{2}}{(b+1)(a+b+1)}\geq \frac{(a+b+c+3)^{2}}{\sum a^{2}+\sum ab+6\sum a+9}=2$

=> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 30-04-2014 - 20:35