Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 30-04-2014 - 22:00

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$



#2 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 30-04-2014 - 22:15

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$

 

từ giã thiết và áp dụng AM-GM ta dễ dàng chứng minh được rằng: $abc\geq 1$

ta có:

$$VT\geq \sqrt{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}\geq \sqrt{2\left ( 3\sqrt[6]{abc} \right )^2}\geq 3\sqrt{2}$$

$$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$$



#3 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 30-04-2014 - 22:17

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$

$3= \sum \frac{1}{a}\geq \frac{1}{3}(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}$

$\Rightarrow 3\geq \sum \frac{1}{\sqrt{a}}\geq \frac{9}{\sum \sqrt{a}}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{a}\geq 3$

ta có $\sum \sqrt{a+b}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 3\sqrt{2}$



#4 huythcsminhtan

huythcsminhtan

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 30-04-2014 - 22:25

áp dụng bunhia có : $2(a+b) \ge (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 \rightarrow a+b \ge \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2}$

 

Làm tương tự với b+c và c+a 

 

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c} \ge \sqrt{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{2}}+\sqrt{\frac{(\sqrt{c}+\sqrt{b})^2}{2}}+\sqrt{\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{c})^2}{2}}=\frac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

 

từ giả thiết và theo cauchy dễ dàng chứng minh được $abc \ge 1$

 

$ \sqrt{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \ge \sqrt{2}.3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=\sqrt{2}.3 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huythcsminhtan: 01-05-2014 - 08:45

$\bigstar$ Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có $\bigstar$

 
  $\bigstar$ Perfect numbers like perfect men are very rare. $\bigstar$ 
 
                                                                                                   
                                                                                       ____ Rene Descartes ____

#5 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 30-04-2014 - 22:27

Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 3\sqrt{2}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có

 

 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\geqslant \frac{4}{a+b}+2\geqslant \frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{a+b}}$

 

$\Rightarrow 2\sum \frac{1}{a}+6\geqslant 2\sqrt{8}\sum \frac{1}{\sqrt{a+b}}\geqslant \frac{18\sqrt{8}}{\sum \sqrt{a+b}}$

 

$\Leftrightarrow 12\sum \sqrt{a+b}\geqslant 18\sqrt{8}\Leftrightarrow \sum \sqrt{a+b}\geqslant 3\sqrt{2}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh