Chủ đề này có 2 trả lời

[Ngoc Hung]

Tìm GTNN của $P=\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}})+\frac{1}{4}(x^{16}+y^{16})-(1+x^{2}y^{2})^{2}$

 

[buiminhhieu]

Tìm GTNN của $P=\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}})+\frac{1}{4}(x^{16}+y^{16})-(1+x^{2}y^{2})^{2}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta được:

$\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}})\geq \frac{1}{2}.2.x^{4}y^{4}=x^{4}y^{4}$

$x^{16}+y^{16}+6\geq (2x^{8}y^{8}+2)+4\geq (4x^{4}y^{4}+4)\geq 8x^{2}y^{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{4}(x^{16}+y^{16})\geq \frac{1}{4}(8x^{2}y^{2}-6)=2x^{2}y^{2}-\frac{3}{2}$

Từ đó $P\geq x^{4}y^{4}+2x^{2}y^{2}-\frac{3}{2}-1-2x^{2}y^{2}-x^{4}y^{4}=\frac{-5}{2}$

Dấu "=" khi $x=y=1$

[Vu Thuy Linh]

Tìm GTNN của $P=\frac{1}{2}(\frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}})+\frac{1}{4}(x^{16}+y^{16})-(1+x^{2}y^{2})^{2}$

Áp dụng BDT Cô si cho 4 số:

$\frac{1}{2}.(\frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}}+1+1)\geq 2x^{2}y^{2}$

$\frac{1}{4}.(x^{16}+y^{16}+1+1)\geq x^{4}y^{4}$

=> $\frac{1}{2}.(\frac{x^{10}}{y^{2}}+\frac{y^{10}}{x^{2}})+\frac{1}{4}.(x^{16}+y^{16})+\frac{5}{2}\geq (1+x^{2}y^{2})$

$\Leftrightarrow P\geq \frac{-5}{2}$

Dấu = khi x = y = 1