Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 01-05-2014 - 08:08

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$



#2 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 01-05-2014 - 08:22

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Áp dụng BĐT $AM-GM$ 

$a^{3}+b^{3}+2c^{3}\geq ab(a+b)+2c^{3}\geq 2\sqrt{2abc^{3}(a+b)}=4c\sqrt{a+b}$

CMTT rồi cộng vế


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#3 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 01-05-2014 - 08:23

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Áp dụng BĐT Schur.

Ta có : $a^3+b^3+c^3\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-3abc=\frac{2(a+b)}{c}+\frac{2(b+c)}{a}+\frac{2(a+c)}{b}-6= \sum \left ( \frac{2a+2b}{c}+2c^3 \right )-2\left ( a^3+b^3+c^3+3 \right )\Rightarrow 3(a^3+b^3+c^3)+6\geq \sum 4a\sqrt{b+c}\Leftrightarrow 4\left ( a^3+b^3+c^3 \right )\geq 4\sum a\sqrt{b+c}$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 01-05-2014 - 08:24

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#4 nk0kckungtjnh

nk0kckungtjnh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tôn Quang Phiệt - Đồng Văn- Thanh Chương- Nghệ An
  • Sở thích:Làm Toán

Đã gửi 01-05-2014 - 10:35

Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Lời giải khác: 

 Sử dụng $Cauchy - Schawrz$ cho vế phải, ta có:

 

$(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+c})^{2}\leq 3[ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)]$ 

 

Mặt khác theo $AM - GM$ thì: $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)\geq(x+y)xy$

 

Do đó: $(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+c})^{2}\leq 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

 

Ta chỉ cần chứng minh: $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq 6 $ 

 

Bất đẳng thức cuối đúng theo $ AM - GM $ 


             Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng


         Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng

- Nhân Chính -

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh