Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$
Áp dụng BĐT $AM-GM$
$a^{3}+b^{3}+2c^{3}\geq ab(a+b)+2c^{3}\geq 2\sqrt{2abc^{3}(a+b)}=4c\sqrt{a+b}$
CMTT rồi cộng vế
Chuyên Vĩnh Phúc
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$
Áp dụng BĐT Schur.
Ta có : $a^3+b^3+c^3\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)-3abc=\frac{2(a+b)}{c}+\frac{2(b+c)}{a}+\frac{2(a+c)}{b}-6= \sum \left ( \frac{2a+2b}{c}+2c^3 \right )-2\left ( a^3+b^3+c^3+3 \right )\Rightarrow 3(a^3+b^3+c^3)+6\geq \sum 4a\sqrt{b+c}\Leftrightarrow 4\left ( a^3+b^3+c^3 \right )\geq 4\sum a\sqrt{b+c}$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 01-05-2014 - 08:24
Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 2. Chứng minh rằng:
$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$
Lời giải khác:
Sử dụng $Cauchy - Schawrz$ cho vế phải, ta có:
$(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+c})^{2}\leq 3[ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)]$
Mặt khác theo $AM - GM$ thì: $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}+y^{2}-xy)\geq(x+y)xy$
Do đó: $(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+c})^{2}\leq 6(a^{3}+b^{3}+c^{3})$
Ta chỉ cần chứng minh: $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq 6 $
Bất đẳng thức cuối đúng theo $ AM - GM $
Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng
Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng
- Nhân Chính -
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta được: $(\sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c} )^2\leqslant 2(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)=\prod_{cyc}^{cyc}a(\sum_{cyc}^{cyc}a )(\sum_{cyc}^{cyc}a^2)\leqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2}{3} \leqslant \frac{(a+b+c)^6}{3^4}$
$\Rightarrow \sum_{cyc}^{cyc}a\sqrt{b+c}\leq \frac{(a+b+c)^3}{3^2}\leqslant a^3+b^3+c^3$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 31-03-2021 - 12:13
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh