Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 01-05-2014 - 08:20

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. Chứng minh 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 01-05-2014 - 09:25


#2 nk0kckungtjnh

nk0kckungtjnh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tôn Quang Phiệt - Đồng Văn- Thanh Chương- Nghệ An
  • Sở thích:Làm Toán

Đã gửi 01-05-2014 - 09:44

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. Chứng minh 

$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$

 

Lời Giải: 

 Bất đẳng thức  cần chứng minh tương đương:

 

$\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}} \geq \frac{22}{15} $                   $(1)$

 

Đặt $ \frac{b}{a} =x ; \frac{c}{b} =y ; \frac{a}{c}=z $  $\Rightarrow  xyz=1; \frac{1}{4}\leq x,y,z\leq 4 $

 

 $(1) \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{22}{15}$ 

 

Giả sử $Min {x,y,z} =z \Rightarrow xy \geq 1$.

 

Chú ý rằng ta có bài toán phụ sau: Với $xy \geq1$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

 

( Chứng minh bằng biến đổi tương đương )

 

 Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+ \frac{1}{z} \geq \frac{22}{15}$

 

 Dồn về hàm 1 biến $a=\sqrt{z}$ ( Vì $\sqrt{xy}= \frac{1}{\sqrt{z}}$ ) ta chỉ cần chứng minh: 

 

$\frac{2a}{a+1}+\frac{1}{a^{2}+1}\geq \frac{22}{15}$  ( Bằng biến đổi tương dương ) 

 

 Bất đẳng thức được chứng minh xong 

 

P/s: Bài này rất hay và khó, giống cấu trúc đề thi đại học. Một số bài toán cũng ý tưởng và cách giải như trên:

 

Bài toán 1 ( VMO 2014 )Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$$T=\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$$

với $x,y,z$ là các số thực dương 

 

Bài toán 2: ( Việt Nam TST 2005) Cho các số dương $a,b,c$. Tìm $Min$  $S=(\frac{a}{a+b})^{3}+(\frac{b}{b+c})^{3}+(\frac{c}{c+a})^{3} $

 

Bài toán 2: ( HSG Toán 12 tỉnh Quảng Bình 2013 - 2014) 

 Cho các số dương $x,y,z$ có tích bằng $8$. Tìm $Min$ 

$S=\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{2}{(y+2)^{3}}+\frac{3}{(z+64)^{3}} $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 01-05-2014 - 10:24

             Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng


         Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng

- Nhân Chính -

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh