Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. Chứng minh
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 01-05-2014 - 09:25
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. Chứng minh
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 01-05-2014 - 09:25
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{2}\leq a,b,c\leq 2$. Chứng minh
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\geq \frac{22}{15}$
Lời Giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
$\frac{1}{1+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{a}{c}} \geq \frac{22}{15} $ $(1)$
Đặt $ \frac{b}{a} =x ; \frac{c}{b} =y ; \frac{a}{c}=z $ $\Rightarrow xyz=1; \frac{1}{4}\leq x,y,z\leq 4 $
$(1) \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{22}{15}$
Giả sử $Min {x,y,z} =z \Rightarrow xy \geq 1$.
Chú ý rằng ta có bài toán phụ sau: Với $xy \geq1$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$
( Chứng minh bằng biến đổi tương đương )
Do đó ta chỉ cần chứng minh: $\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+ \frac{1}{z} \geq \frac{22}{15}$
Dồn về hàm 1 biến $a=\sqrt{z}$ ( Vì $\sqrt{xy}= \frac{1}{\sqrt{z}}$ ) ta chỉ cần chứng minh:
$\frac{2a}{a+1}+\frac{1}{a^{2}+1}\geq \frac{22}{15}$ ( Bằng biến đổi tương dương )
Bất đẳng thức được chứng minh xong
P/s: Bài này rất hay và khó, giống cấu trúc đề thi đại học. Một số bài toán cũng ý tưởng và cách giải như trên:
Bài toán 1 ( VMO 2014 )Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$T=\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$$
với $x,y,z$ là các số thực dương
Bài toán 2: ( Việt Nam TST 2005) Cho các số dương $a,b,c$. Tìm $Min$ $S=(\frac{a}{a+b})^{3}+(\frac{b}{b+c})^{3}+(\frac{c}{c+a})^{3} $
Bài toán 2: ( HSG Toán 12 tỉnh Quảng Bình 2013 - 2014)
Cho các số dương $x,y,z$ có tích bằng $8$. Tìm $Min$
$S=\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{2}{(y+2)^{3}}+\frac{3}{(z+64)^{3}} $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 01-05-2014 - 10:24
Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng
Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng
- Nhân Chính -
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh