Chủ đề này có 3 trả lời

[tanh]

Cho $x;y$ thỏa mãn $x\geq 1;y\geq 1$ và $3(x+y)=4xy$.

Tìm GTLN,GTNN:

$P=x^3+y^3+3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 01-05-2014 - 09:02

[Viet Hoang 99]

Cho $x;y$ thỏa mãn $x\geq 1;y\geq 1$ và $3(x+y)=4xy$.

Tìm GTLN,GTNN:

$P=x^3+y^3+3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}) $

Dự đoán dấu bằng $x=y=\frac{3}{2}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
$P+\frac{27}{8}\geq \frac{9}{2}xy+\frac{6}{xy}$
Đặt $t=xy$. Từ giả thiết $4xy=3\left(x+y \right)\geq 6\sqrt{xy}\Rightarrow xy\geq \frac{9}{4}$
Xét hàm số: $f\left(t \right)=\frac{9}{2}t+\frac{6}{t}$, với $t\geq \frac{9}{4}$. 
Suy ra, GTNN của P bằng $\frac{93}{12}$. Đạt được khi $x=y=\frac{3}{2}$

[Viet Hoang 99]

Cách 2:

 

Từ giả thiết $3\left(x+y \right)=4xy\rightarrow 3\left(x+y \right)\leq \left(x+y \right)^{2}\rightarrow x+y\geq 3.$
Mặt khác từ $x,y\geq 1\rightarrow \left(1-x \right)\left(1-y \right)\geq 0\leftrightarrow 1+xy\geq x+y\rightarrow \frac{3\left(x+y \right)}{4}+1\geq x+y\rightarrow x+y\leq 4$.
Đặt $t = x + y$ ta có $P=f(t)=t^{3}-\frac{9}{4}t^{2}-\frac{8}{t}+\frac{16}{3};3\leq t\leq 4$

[nk0kckungtjnh]

Lời Giải:

Từ giả thiết ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{3}$

 

Đặt $ \frac{1}{x} =a ; \frac{1}{y}=b  \Leftarrow a+b=\frac{4}{3} ; 0<a,b \leq 1$

 

$P=\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+3(a^{2}+b^{2})$

 

Dồn để khảo sát hàm $1$ biến $t=ab$

 

$P= \frac{(a+b)[(a+b)^{2}-3ab]}{(ab)^{3}}+3[(a+b)^{3}-2ab]$