Chủ đề này có 4 trả lời

[tanh]

Cho $x.y.z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$.Tìm GTLN:

$P=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}$

[Viet Hoang 99]

Cho $x.y.z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$.Tìm GTLN:

$P=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}$

+ Đặt $t = x + y + z$ thì $t^{2} = 3 + 2\left(xy + yz + xz \right) \Rightarrow 2\left(xy + yz + xz \right) = t^{2} - 3 \geq 0 \Rightarrow t \geq \sqrt{3}$

+ Mặt khác $\left(x + y + z \right)^{2} \leq 3\left(x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) = 9 \Rightarrow t \leq 3$

Nên $\sqrt{3} \leq t = x + y + z \leq 3$

+ Khi đó , $P = \frac{t^{2} - 3}{2} + \frac{5}{t}$ với mọi $t \in \left[\sqrt{3} ; 3\right]$

+ Xét hàm số : $f\left(t \right) = \frac{t^{2} - 3}{2} + \frac{5}{t}$ trên $\left[\sqrt{3} ; 3\right]$
có : $f'\left(t \right) = t - \frac{5}{t^{2}} = \frac{t^{3} - 5}{t^{2}} > 0 $ với mọi $t \in \left[\sqrt{3} ; 3\right]$

Nên hàm số $f\left(t \right) $ đồng biến trên $\left[\sqrt{3} ; 3\right]$ $\Rightarrow f\left(t \right) \leq f\left(3 \right) = \frac{14}{3}$

Vậy GTLN của $P = \frac{14}{3} \Leftrightarrow x = y = z = 1$

[buitudong1998]

Cho $x.y.z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3$.Tìm GTLN:

$P=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}$

Cách giải khác tại đây

[nk0kckungtjnh]

+ Đặt $t = x + y + z$ thì $t^{2} = 3 + 2\left(xy + yz + xz \right) \Rightarrow 2\left(xy + yz + xz \right) = t^{2} - 3 \geq 0 \Rightarrow t \geq \sqrt{3}$

+ Mặt khác $\left(x + y + z \right)^{2} \leq 3\left(x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) = 9 \Rightarrow t \leq 3$

Nên $\sqrt{3} \leq t = x + y + z \leq 3$

+ Khi đó , $P = \frac{t^{2} - 3}{2} + \frac{5}{t}$ với mọi $t \in \left[\sqrt{3} ; 3\right]$

+ Xét hàm số : $f\left(t \right) = \frac{t^{2} - 3}{2} + \frac{5}{t}$ trên $\left[\sqrt{3} ; 3\right]$
có : $f'\left(t \right) = t - \frac{5}{t^{2}} = \frac{t^{3} - 5}{t^{2}} > 0 $ với mọi $t \in \left[\sqrt{3} ; 3\right]$

Nên hàm số $f\left(t \right) $ đồng biến trên $\left[\sqrt{3} ; 3\right]$ $\Rightarrow f\left(t \right) \leq f\left(3 \right) = \frac{14}{3}$

Vậy GTLN của $P = \frac{14}{3} \Leftrightarrow x = y = z = 1$

$P,Q,R$ bài này được không nhỉ?!. Bạn thử nhé, mình hơi lười á!     

[Viet Hoang 99]

$P,Q,R$ bài này được không nhỉ?!. Bạn thử nhé, mình hơi lười á!     

Chú ý hộ cái, spam nhiều quá

PQR anh buitudong đã đăng rồi