Thượng sĩ
1) Với mọi $m;n;p$ thuộc R+. C/m $\sqrt{\frac{m}{m+n}}+\sqrt{\frac{n}{n+p}}+\sqrt{\frac{p}{m+p}}$ $\leq$ $\frac{3}{\sqrt{2}}$.
2) Cho a;b;c thuộc khoảng từ 0 đến 1. C/m
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1} + (1-a)(1-b)(1-c)$ $\leq$ $1$.
3) Cho $a;b;c$ thuộc khoảng từ 1 đến 3 và $a+b+c=6$. Tìm Max.
$A=a^3+b^3+c^3$.
a;b;c∈[1;3]
$\LaTeX$ và tiêu đề
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 02-05-2014 - 20:17
Câu nói bất hủ nhất của Joker :
Joker để dao vào mồm Gambol nói : Mày muốn biết vì sao tao có những vết sẹo trên mặt hay không ? Ông già tao là .............. 1 con sâu rượu, một con quỷ dữ. Và một đêm nọ , hắn trở nên điên loạn hơn bình thường . Mẹ tao vớ lấy con dao làm bếp để tự vệ . Hắn không thích thế ... không một chút nào . Vậy là tao chứng kiến ... cảnh hắn cầm con dao đi tới chỗ bà ấy , vừa chém xối xả vừa cười lớn . Hắn quay về phía tao và nói ... "Sao mày phải nghiêm túc?". Hắn thọc con dao vào miệng tao. "Hãy đặt nụ cười lên khuôn mặt nó nhé". Và ... "Sao mày phải nghiêm túc như vậy ?"
$\textbf{Trương Việt Hoàng}$
1) Với mọi $m;n;p$ thuộc R+. C/m $\sqrt{\frac{m}{m+n}}+\sqrt{\frac{n}{n+p}}+\sqrt{\frac{p}{m+p}}$ $\leq$ $\frac{3}{\sqrt{2}}$.
2) Cho a;b;c thuộc khoảng từ 0 đến 1. C/m
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1} + (1-a)(1-b)(1-c)$ $\leq$ $1$.
3) Cho $a;b;c$ thuộc khoảng từ 1 đến 3 và $a+b+c=6$. Tìm Max.
$A=a^3+b^3+c^3$.
a;b;c∈[1;3]
$\LaTeX$ và tiêu đề
3)
$a^3+1+1\geq 3a$
$\Rightarrow A\geq 3(a+b+c)-6=12$
2)
Giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$
Có:
$\begin{align*} &\dfrac{a}{c+b+1}+\dfrac{b}{a+c+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\\ &\le\dfrac{a}{a+b+1}+\dfrac{b}{a+b+1}+\dfrac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\\ &=\dfrac{a+b+c}{a+b+1}+\dfrac{(a+b+1)(1-a)(1-b)(1-c)}{a+b+1}\\ &\le\dfrac{a+b+c}{a+b+1}+\dfrac{(a+1)(b+1)(1-a)(1-b)(1-c)}{a+b+1}\\ &=\dfrac{a+b+c}{a+b+1}+\dfrac{(1-a^2)(1-b^2)(1-c)}{a+b+1}\\ &\le\dfrac{a+b+c}{a+b+1}+\dfrac{1-c}{a+b+1}=1 \end{align*}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 04-05-2014 - 23:04
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
Thượng úy
3) Cho $a;b;c$ thuộc khoảng từ 1 đến 3 và $a+b+c=6$. Tìm Max.
$A=a^3+b^3+c^3$.a;b;c∈[1;3]
Mình làm thế này, mong mọi người cùng chữa.
Giải:
Đầu tiên ta đi C/m $B=a^2+b^2+c^2\leq 14$.
Đặt $x=a-2;y=b-2;z=c-2$ $\Rightarrow x+y+z=0$ $\Rightarrow$ Tồn tại 2 trong 3 số cùng dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử $x$ và $y$ $\Rightarrow 2xy\geq 0$
Vì $a,b,c \in [1;3]\Rightarrow x,y,z \in [-1;1]$$\Rightarrow z^2\leq 1$
Ta có:
$B= (x+2)^2+(y+2)^2+(z+2)^2= (x^2+y^2+z^2)+4(x+y+z)+12= x^2+y^2+z^2+12\leq (x^2+2xy+y^2)+z^2+12= (x+y)^2+z^2+12= 2z^2+12\leq 2+12=14$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\leq 2$
Ta xét
$A= (x+2)^3+(y+2)^3+(z+2)^3= (x^3+y^3+z^3)+6(x^2+y^2+z^2)+12(x+y+z)+24= 3xyz+6(x^2+y^2+z^2)+24\leq 0+6.2+24=36$ (Do $x+y+z=0$$\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất một số không âm hoặc không dương $\Rightarrow xyz\leq 0$)
Vậy Max $A=36$. Dấu $"="$ $\Leftrightarrow x=1;y=2;z=3$ và các hoán vị
P/s: Hình như có vấn đề?
ê Việt Hoàng: Đề bài yêu cầu tìm max mà bạn!
Ờ nhầm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 03-05-2014 - 23:55
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Trung úy
1) Với mọi $m;n;p$ thuộc R+. C/m $\sqrt{\frac{m}{m+n}}+\sqrt{\frac{n}{n+p}}+\sqrt{\frac{p}{m+p}}$ $\leq$ $\frac{3}{\sqrt{2}}$.
Thôi xơi nốt bài còn lại :v
Đặt $A=\sum \sqrt{\frac{m}{m+n}}\Rightarrow A^2=(\sum \sqrt{\frac{m(m+p)}{(m+n)(m+p)}})^2$
$\leqslant 2(m+n+p)(\sum \frac{m}{(m+n)(m+p)})=\frac{4(m+n+p)(mn+mp+np)}{(m+n)(m+p)(n+p)}$ $(1)$
Có BĐT quen thuộc là $(mn+mp+np)(m+n+p)\leqslant \frac{9}{8}(m+n)(m+p)(n+p)$ $(2)$
Từ $(1)(2)\Rightarrow A^2\leqslant \frac{9}{2}\Rightarrow A\leqslant \frac{3}{\sqrt{2}}$
Thịnh To Tướng
Mình làm thế này, mong mọi người cùng chữa.
Giải:
Đầu tiên ta đi C/m $B=a^2+b^2+c^2\leq 14$.
Đặt $x=a-2;y=b-2;z=c-2$ $\Rightarrow x+y+z=0$ $\Rightarrow$ Tồn tại 2 trong 3 số cùng dấu.
Không mất tính tổng quát, giả sử $x$ và $y$ $\Rightarrow 2xy\geq 0$
Vì $a,b,c \in [1;3]\Rightarrow x,y,z \in [-1;1]$$\Rightarrow z^2\leq 1$
Ta có:
$B= (x+2)^2+(y+2)^2+(z+2)^2= (x^2+y^2+z^2)+4(x+y+z)+12= x^2+y^2+z^2+12\leq (x^2+2xy+y^2)+z^2+12\leq $$ (x+y)^2+z^2+12\leq 2z^2+12$$\leq 2+12=14$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\leq 2$
Ta xét
$A= (x+2)^3+(y+2)^3+(z+2)^3= (x^3+y^3+z^3)+6(x^2+y^2+z^2)+12(x+y+z)+24= 3xyz+6(x^2+y^2+z^2)+24\leq 0+6.2+24=36$ (Do $0=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow xyz\leq 0$)
Vậy Max $A=36$. Dấu $"="$ $\Leftrightarrow x=1;y=2;z=3$ và các hoán vị
P/s: Hình như có vấn đề?
ê Việt Hoàng: Đề bài yêu cầu tìm max mà bạn!
Ờ nhầm
Cho mình hỏi hai chỗ này.
Cái chỗ cuối $x;y;z$ đâu có >0 đâu mà áp dụng BĐT AM-GM
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
Thượng úy
Cho mình hỏi hai chỗ này.
Cái chỗ cuối $x;y;z$ đâu có >0 đâu mà áp dụng BĐT AM-GM
Mình sửa rồi đấy, bạn xem có đúng không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 03-05-2014 - 23:57
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Binh nhì
2) Cho a;b;c thuộc khoảng từ 0 đến 1. C/m
$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1} + (1-a)(1-b)(1-c)$ $\leq$ $1$.
Ta có:
$(1+a+b)(1-a)(1-b)\leq (\frac{1+a+b+1-a+1-b}{3})^{3}=1$
$\Rightarrow (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{1-c}{1+a+b}$ (1)
Không mất tính tổng quát, giả sử $c\geq b\geq a> 0$ ta có:
$b+c+1\geq a+b+1$ (2)
$c+a+1\geq a+b+1$ (3)
$(1)(2)(3)\Rightarrow \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{a+b+1}+\frac{c}{a+b+1}+\frac{1-c}{a+b+1}=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lelinh99: 04-05-2014 - 23:01
“Đừng ước rằng mọi chuyện sẽ dể dàng hơn; Hãy ước bạn tài giỏi hơn. Đừng ước rằng bạn sẽ có ít rắc rối trong cuộc sống; Hãy ước bạn có nhiều kỹ năng hơn. Đừng ước cuộc sống của bạn có ít thử thách; Hãy ước bạn khôn ngoan hơn.” - Jim Rohn
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học
