Chủ đề này có 1 trả lời

[BysLyl]

Cho a,b,c là các số dương khác nhau đôi một. 

Tìm Max: $P=\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{(b-x)(b-y)}{b(b-c)(c-a)}+\frac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$  với x,y>0; x+y=1

[Vu Thuy Linh]

Cho a,b,c là các số dương khác nhau đôi một. 

Tìm Max: $P=\frac{(a-x)(a-y)}{a(a-b)(a-c)}+\frac{(b-x)(b-y)}{b(b-c)(c-a)}+\frac{(c-x)(c-y)}{c(c-a)(c-b)}$  với x,y>0; x+y=1

Theo hệ số bất định, giả sử:

$\frac{(t-x)(t-y)}{(t-a)(t-b)(t-c)}=\frac{A}{t-a}+\frac{B}{t-b}+\frac{C}{t-c}$

Khi đó: $(t-x)(t-y)=A(t-b)(t-c)+B(t-a)(t-c)+C(t-a)(t-b)$

Thay t lần lượt bằng a, b, c suy ra:

$A=\frac{(a-x)(a-y)}{(a-b)(a-c)};B=\frac{(b-x)(b-y)}{(b-c)(b-a)};C=\frac{(c-x)(c-y)}{(c-a)(c-b)}$

Suy ra:

$P=\frac{(t-x)(t-y)}{(t-a)(t-b)(t-c)}$

Cho t = 0 thì $P=\frac{xy}{abc}$. Vì $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow P\leq \frac{1}{4abc}$

Vậy Max P = $\frac{1}{4abc}$. Dấu = xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$