Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

APMO 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 03-05-2014 - 08:46

Câu 1. Với mỗi số nguyên dương $m$, ta kí hiệu $S(m)$ và $P(m)$ lần lượt là tổng và tích các chữ số của $m$. Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại các số nguyên dương $a_1, a_2, \ldots, a_n$ thỏa mãn điều kiện:
$$\left\{ \begin{matrix} S(a_1)< S(a_2) < \cdots < S(a_n) \\ S(a_i) = P(a_{i+1}), \quad (i=1,2,\ldots,n).\end{matrix}\right.(a_{n+1} = a_1.) $$
 
Câu 2.  Đặt $S = \left\{1,2,\dots,2014 \right\}$. Với mỗi tập con khác rỗng $T \subseteq S$, ta chọn một phần tử làm đại diện. Tìm số các cách chọn phần tử đại diện của tất cả các tập con khác rỗng của $S$ sao cho nếu tập con $D \subseteq S$ được phân hoạch thành các tập con không rỗng $A, B, C \subseteq S$, thì phần tử đại diện của $D$ cũng là phần tử đại diện của một trong ba tập $A, B, C$.
Câu 3
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho với bất kì số nguyên $k$, luôn tồn tại một số nguyên $a$ sao cho $a^3+a-k$ chia hết cho $n$.
 
Câu 4. Giả sử $n$ và $b$ là các số nguyên dương. Ta nói rằng $n$ là $b-$phân biệt nếu tồn tại một tập hợp gồm $n$ số nguyên dương phân biệt nhỏ hơn $b$ mà không có hai tập con phân biệt $U$ và $V$ sao cho tổng các phần tử của $U$ bằng tổng các phần tử của $V$.
 
(a) Chứng minh rằng $8$ là $100$-phân biệt.
(b) Chứng minh răng $9$ không phải là $100$-phân biệt.
 
Câu 5  Các đường tròn $\omega$ và $\Omega$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Gọi $M$ là trung điểm cung $AB$ của đường tròn $\omega$ $(M$ nằm ở miền trong $\Omega)$. Dây cung $MP$ của $\omega$ cắt $\Omega$ tại $Q$ $(Q$ nằm ở miền trong $\omega)$. Gọi $\ell_P$ là tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$, và $\ell_Q$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các đường thẳng $\ell_P, \ell_Q$ và $AB$ tiếp xúc với $\Omega$.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐHKHTN TPHCM
  • Sở thích:Bay...trên trời (SKY!!!)

Đã gửi 08-05-2014 - 14:27

 

Câu 1. Với mỗi số nguyên dương $m$, ta kí hiệu $S(m)$ và $P(m)$ lần lượt là tổng và tích các chữ số của $m$. Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại các số nguyên dương $a_1, a_2, \ldots, a_n$ thỏa mãn điều kiện:
$$\left\{ \begin{matrix} S(a_1)< S(a_2) < \cdots < S(a_n) \\ S(a_i) = P(a_{i+1}), \quad (i=1,2,\ldots,n).\end{matrix}\right.(a_{n+1} = a_1.) $$
 
Câu 2.  Đặt $S = \left\{1,2,\dots,2014 \right\}$. Với mỗi tập con khác rỗng $T \subseteq S$, ta chọn một phần tử làm đại diện. Tìm số các cách chọn phần tử đại diện của tất cả các tập con khác rỗng của $S$ sao cho nếu tập con $D \subseteq S$ được phân hoạch thành các tập con không rỗng $A, B, C \subseteq S$, thì phần tử đại diện của $D$ cũng là phần tử đại diện của một trong ba tập $A, B, C$.
Câu 3
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho với bất kì số nguyên $k$, luôn tồn tại một số nguyên $a$ sao cho $a^3+a-k$ chia hết cho $n$.
 
Câu 4. Giả sử $n$ và $b$ là các số nguyên dương. Ta nói rằng $n$ là $b-$phân biệt nếu tồn tại một tập hợp gồm $n$ số nguyên dương phân biệt nhỏ hơn $b$ mà không có hai tập con phân biệt $U$ và $V$ sao cho tổng các phần tử của $U$ bằng tổng các phần tử của $V$.
 
(a) Chứng minh rằng $8$ là $100$-phân biệt.
(b) Chứng minh răng $9$ không phải là $100$-phân biệt.
 
Câu 5  Các đường tròn $\omega$ và $\Omega$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Gọi $M$ là trung điểm cung $AB$ của đường tròn $\omega$ $(M$ nằm ở miền trong $\Omega)$. Dây cung $MP$ của $\omega$ cắt $\Omega$ tại $Q$ $(Q$ nằm ở miền trong $\omega)$. Gọi $\ell_P$ là tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$, và $\ell_Q$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các đường thẳng $\ell_P, \ell_Q$ và $AB$ tiếp xúc với $\Omega$.

 

Câu 5 bài hình ban đầu chưa thấy xuất hiện P mà ở đoạn thứ 3 lại xuất hiện lạ kì ..... Thầy xem lại giùm em....:D


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh