Câu 1. Với mỗi số nguyên dương $m$, ta kí hiệu $S(m)$ và $P(m)$ lần lượt là tổng và tích các chữ số của $m$. Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại các số nguyên dương $a_1, a_2, \ldots, a_n$ thỏa mãn điều kiện:
$$\left\{ \begin{matrix} S(a_1)< S(a_2) < \cdots < S(a_n) \\ S(a_i) = P(a_{i+1}), \quad (i=1,2,\ldots,n).\end{matrix}\right.(a_{n+1} = a_1.) $$
Câu 2. Đặt $S = \left\{1,2,\dots,2014 \right\}$. Với mỗi tập con khác rỗng $T \subseteq S$, ta chọn một phần tử làm đại diện. Tìm số các cách chọn phần tử đại diện của tất cả các tập con khác rỗng của $S$ sao cho nếu tập con $D \subseteq S$ được phân hoạch thành các tập con không rỗng $A, B, C \subseteq S$, thì phần tử đại diện của $D$ cũng là phần tử đại diện của một trong ba tập $A, B, C$.
Câu 3
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho với bất kì số nguyên $k$, luôn tồn tại một số nguyên $a$ sao cho $a^3+a-k$ chia hết cho $n$.
Câu 4. Giả sử $n$ và $b$ là các số nguyên dương. Ta nói rằng $n$ là $b-$phân biệt nếu tồn tại một tập hợp gồm $n$ số nguyên dương phân biệt nhỏ hơn $b$ mà không có hai tập con phân biệt $U$ và $V$ sao cho tổng các phần tử của $U$ bằng tổng các phần tử của $V$.
(a) Chứng minh rằng $8$ là $100$-phân biệt.
(b) Chứng minh răng $9$ không phải là $100$-phân biệt.
Câu 5 Các đường tròn $\omega$ và $\Omega$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Gọi $M$ là trung điểm cung $AB$ của đường tròn $\omega$ $(M$ nằm ở miền trong $\Omega)$. Dây cung $MP$ của $\omega$ cắt $\Omega$ tại $Q$ $(Q$ nằm ở miền trong $\omega)$. Gọi $\ell_P$ là tiếp tuyến của $\omega$ tại $P$, và $\ell_Q$ là tiếp tuyến của $\Omega$ tại $Q$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các đường thẳng $\ell_P, \ell_Q$ và $AB$ tiếp xúc với $\Omega$.