Cho các số thực x, y, z thoả mãn: $x^{4}+y^{4}+z^{4}=3$
Tìm Max: $P=x^{2}(x+y)+y^{2}(y+z)+z^{2}(z+x)$
Cho các số thực x, y, z thoả mãn: $x^{4}+y^{4}+z^{4}=3$
Tìm Max: $P=x^{2}(x+y)+y^{2}(y+z)+z^{2}(z+x)$
Cho các số thực x, y, z thoả mãn: $x^{4}+y^{4}+z^{4}=3$
Tìm Max: $P=x^{2}(x+y)+y^{2}(y+z)+z^{2}(z+x)$
ta có theo Cauchy thì $2x^3+y^3\geq 3x^2y$...nên $\sum x^2y\leq x^3+y^3+z^3=>x^3+y^3+z^3+\sum x^2y\leq 2(x^3+y^3+z^3)=>P\leq 2(x^3+y^3+z^3)$
ta CM: $x^3+y^3+z^3\leq x^{4}+y^{4}+z^{4}$
thật vậy: dùng Cauchy $3x^{4}+1\geq 4x^3\\3y^{4}+1\geq 4y^3\\3z^{4}+1\geq 4z^3$ nên $3(x^4+y^4+z^4)+3\geq 4(x^3+y^3+z^3)=>4(x^{4}\dotplus y^4+z^4)\geq 4(x^3+y^3+z^3)=>đpcm$
ZION
số thực thì làm sao dung cauchy dc
số thực thì làm sao dung cauchy dc
Nếu 3 số a,b,c không cùng lớn hơn hoặc bằng 0 thì khi đó $P$ sẽ bé hơn $P'$ khi ta thay các số âm trong biểu thức $P$ bởi các số đối với nó.
Chẳng hạn nếu $a<0$ thì ta thay bằng $-a$.
Tóm lại là lập luận đoạn đầu rồi giải trên khoảng $a,b,c$ không âm...
ZION
hoặc là$3x^4+1=x^4+x^4+x^4+1\geq 4x^3$
$x^4+x^4+y^4+1\geq 4x^2y$
nếu chưa chắc chắn là x,y,z âm hay dương thì dùng bdt AM GM luôn với x^4 dương với mọi x,không cần thiết phải lập luộn cùng âm, hay cùng dương để dùng amgm với x^3
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh