Chủ đề này có 1 trả lời

[Alexman113]

Tìm $m$ để $y=x^3-3x+1\,\,(C)$ cắt $(d):y=mx+1$ tại ba điểm $A,\,B,\,C$ phân biệt và $x_A,\,x_B\ne 0.$ Gọi $D$ là điểm cực tiểu của $(C).$ Tìm $m$ để $\Delta ABD$ vuông tại $D.$

[E. Galois]

Tìm $m$ để $y=x^3-3x+1\,\,(C)$ cắt $(d):y=mx+1$ tại ba điểm $A,\,B,\,C$ phân biệt và $x_A,\,x_B\ne 0.$ Gọi $D$ là điểm cực tiểu của $(C).$ Tìm $m$ để $\Delta ABD$ vuông tại $D.$

Ta có:

$$y'=3x^2-3; y'=0 \Leftrightarrow x = \pm 1$$

Dễ thấy $D(1;-1)$ là điểm cực tiểu của đồ thị $\left(C\right)$.

Hoành độ giao điểm của $(d)$ và $\left(C\right)$ là nghiệm của phương trình:

\begin{equation}x^3-3x+1=mx+1 \Leftrightarrow x(x^2-3-m) = 0 \end{equation}

Điều kiện cần và đủ để $(d)$ và $\left(C\right)$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt là $m>-3$.

Với $m>-3$, ta có $A(-\sqrt{m+3};-m\sqrt{m+3}+1),B(\sqrt{m+3};m\sqrt{m+3}+1)$.

$$\overrightarrow{DA}=\left ( -\sqrt{m+3}-1;2-m\sqrt{m+3} \right );\overrightarrow{DB}=\left ( \sqrt{m+3}-1;2+m\sqrt{m+3} \right )$$

Tam giác $ABD$ vuông tại $D$ nên:

\begin{align*}\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DB}=0 & \Leftrightarrow -m-3+1+4 - m^2(m+3)=0\\ & \Leftrightarrow m^3+3m^2+m-2=0\\ & \Leftrightarrow  (x+2)(x^2+x-1)=0\end{align*}

Kiểm tra điều kiện, ta thấy $m=-2;m=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$ là nghiệm của bài toán.