MỞ RỘNG TỪ BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
I) Mở đầu
Bài toán 1: Tồn tại hay không các số $a,b,c\in Z$ thỏa $a^{3}+b^{4}=c^{5}$
Lời giải.
Từ hằng đẳng thức $2^{25}=2^{24}+2^{24}$. Suy ra $(2^{5})^{5}=(2^{8})^{3}+(2^{6})^{4}$
Chọn $a=2^{8};b=2^{6};c=2^{5}$. Vậy tồn tại $a,b,c$ thỏa yêu cầu đề bài
Dưới đây là một số mở rộng của bài 1.
Bài toán 2:(Canada 1991) Chứng minh phương trình $x^{2}+y^{3}=z^{5}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Lời giải.
Ta có: $2^{m}+2^{m}=2^{m+1}$. Đặt $x=2^{\frac{m}{2}};y=2^{\frac{m}{3}};z=2^{\frac{m+1}{5}}$, khi đó $x^{2}+y^{3}=z^{5}$.
Ta chỉ cần tìm m sao cho $\frac{m}{2};\frac{m}{3};\frac{m+1}{5}$ nguyên là xong. Đây là một bài toán bậc nhất đơn giản và ta có thể tìm được $m=6(5k+4)$
Vậy $x=2^{3(5k+4)};y=2^{2(5k+4)};z=2^{6k+5}$ là một họ nghiệm của phương trình dẫn đến phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài toán 3: Chứng minh phương trình $x^{2}+y^{3}+z^{4}=t^{5}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Lời giải.
Ta có: $(3^{60n+12})^{2}+(3^{40n+8})^{3}+(3^{30n+6})^{4}=(3^{24n+5})^{5}$
Ta sẽ chọn $x=3^{60n+12};y=3^{40n+8};z=3^{30n+6};t=3^{24n+5}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Để hiểu rõ hơn cách chọn $x,y,z$ sao cho thỏa yêu cầu đề bài, chúng ta hãy đến một định lý.
II) Nội dung
Định lý: Cho phương trình${x_{1}}^{y_{1}}+{x_{2}}^{y_{2}}+...+{x_{n}}^{y_{n}}={x_{n+1}}^{y_{n+1}}(1)$ (với $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ là ẩn; $y_{1};y_{2};...;y_{n}$ là các số nguyên dương cho trước)
Gọi $l=lcm(y_{1};y_{2};...;y_{n})$. Nếu $(l;y_{n+1})=1$ thì phương trình (1) có vô số nghiệm nguyên dương.
Chứng minh định lý:
Ta có: $n^{m}+n^{m}+...+n^{m}=n^{m+1}$. Đặt $x_{i}=n^{\frac{m}{y_{i}}}(\forall i=\bar{1,n});x_{n+1}=n^{\frac{m+1}{y_{n+1}}}$, khi đó (1) xảy ra.
Ta cần tìm $m$ sao cho $\frac{m}{y_{i}}\in Z^{+}(\forall i=\bar{1,n});\frac{m+1}{y_{n+1}}\in Z^{+}(2)$
Điều này tương đương $\left\{\begin{matrix} m\vdots l\\ m+1\vdots y_{n+1} \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} m=al\\ m=by_{n+1}-1 \end{matrix}\right.=>by_{n+1}-al=1(3)$
Theo hệ thức Bezout thì tồn tại $a,b\in Z$ thỏa (3)
Mặt khác (3) là phương trình Diophantine bậc nhất nên tồn tại vô số số nguyên dương $m$ thỏa (2).
Vậy phương trình (1) tồn tại vô số nghiệm nguyên dương.
III) Một số ví dụ
Bài 1: Chứng minh phương trình $x^{3}+y^{5}=z^{8}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Lời giải.
Ta có hằng đẳng thức $2^{m}+2^{m}=2^{m+1}$. Đặt $x=2^{\frac{m}{3}};y=2^{\frac{m}{5}};z=2^{\frac{m+1}{8}}$, khi đó $x^{3}+y^{5}=z^{8}$
Ta cần tìm $m$ sao cho$\frac{m}{3};\frac{m}{5};\frac{m+1}{8}\in Z^{+}$
Dẫn đến $\left\{\begin{matrix} m=15a\\ m+1=8b \end{matrix}\right.=>8b-15a=1=>b=15n=2=>m=120n+15$
Suy ra $x=2^{40n+5};y=2^{24n+3};z=2^{15n+2}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 2: Chứng minh phương trình $x^{3}+y^{4}+z^{5}=t^{8}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Lời giải.
Ta có: $3^{m}+3^{m}+3^{m}=3^{m+1}$. Đặt $x=3^{\frac{m}{3}};y=3^{\frac{m}{4}};z=3^{\frac{m}{5}};t=3^{\frac{m+1}{7}}$
Ta cần tìm $m$ sao cho$\frac{m}{3};\frac{m}{4};\frac{m}{5};\frac{m+1}{7}\in Z^{+}$. Suy ra $\left\{\begin{matrix} m=60a\\ m+1=7b \end{matrix}\right.=>b=60n+43$
Dẫn đến $x=3^{140n+100};y=3^{105n+75};z=3^{84n+60};t=3^{60n+43}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên dương
Bài 3: Chứng minh phương trình $a^{2}+b^{4}+c^{5}+d^{7}=e^{3}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Lời giải.
Từ hằng đẳng thức: $4^{m}+4^{m}+4^{m}+4^{m}=4^{m+1}$
Suy ra đặt $a=4^{\frac{m}{2}}=2^{m};b=4^{\frac{m}{4}}=2^{\frac{m}{2}};c=4^{\frac{m}{5}};d=4^{\frac{m}{7}};e=4^{\frac{m+1}{3}}$
Cần tìm $m$ sao cho $\frac{m}{2};\frac{m}{5};\frac{m}{7};\frac{m+1}{3}\in Z^{+}=>\left\{\begin{matrix} m=70x\\ m+1=3y \end{matrix}\right.=>x=3n+2$
Dẫn đến $a=2^{210n+140};b=2^{105n+70};c=4^{42n+28};d=4^{30n+20};e=4^{70n+47}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 4: Chứng minh phương trình $2x^{3}+3y^{4}=z^{5}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Lời giải.
Ta luôn có: $2x^{3}+3y^{4}=z^{5}<=>x^{3}+x^{3}+y^{4}+y^{4}+y^{4}=z^{5}$
$5^{m}+5^{m}+5^{m}+5^{m}+5^{m}=5^{m+1}$
Đặt $x=5^{\frac{m}{3}};y=5^{\frac{m}{4}};z=5^{\frac{m+1}{5}}$, khi đó $2x^{3}+3y^{4}=z^{5}$
Ta cần tìm $m$ sao cho$\left\{\begin{matrix} m\vdots 12\\ m+1\vdots 5 \end{matrix}\right.=>m=60n+24$
Chọn $x=5^{20n+8};y=5^{15n+6};z=5^{12n+5}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 5: Chứng minh phương trình $2a^{2}=b^{3}+c^{5}$ có vô số nghiệm nguyên.
Lời giải.
Cách 1: Từ phương trình ban đầu suy ra $a^{2}+a^{2}+(-b)^{3}=c^{5}$
Mà: $3^{m}+3^{m}+3^{m}=3^{m+1}$ nên đặt $a=3^{\frac{m}{2}};b=-3^{\frac{m}{3}};c=3^{\frac{m+1}{5}}$
Ta tìm $m$ sao cho $\left\{\begin{matrix} m\vdots 6\\m+1\vdots 5 \end{matrix}\right.=>m=30n+24$
Dẫn đến $a=3^{15n+12};b=-3^{10n+8};c=3^{6n+5}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên
Cách 2: Phương trình ban đầu ta có: $a^{2}+a^{2}+(-c)^{5}=b^{3}$
Đặt $a=3^{\frac{m}{2}};b=3^{\frac{m+1}{3}};c=-3^{\frac{m}{5}}$. Ta cần tìm $m$ sao cho$\left\{\begin{matrix} m\vdots 10\\ m+1\vdots 3 \end{matrix}\right.=>m=30n+20$
Dẫn đến $a=3^{15n+10};b=3^{10n+7};c=-3^{6n+4}$
Vậy phương trình có vô số nghiệm nguyên.
IV) Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh phương trình $2a^{3}=b^{4}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 2: Chứng minh phương trình $x^{4}+y^{5}=z^{9}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 3: Chứng minh phương trình $a^{3}+b^{4}=c^{7}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 4: Chứng minh phương trình $a^{2}+b^{4}+c^{5}=d^{3}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 5: Chứng minh phương trình $x^{2}+y^{4}+z^{6}=t^{5}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 6: Chứng minh phương trình ${x_{1}}^{3}+{x_{2}}^{5}+{x_{3}}^{7}+{x_{4}}^{9}={x_{5}}^{2}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 7: Chứng minh phương trình $x^{2}=2y^{3}+3z^{5}+4t^{7}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 8: Chứng minh phương trình $3a^{5}+4b^{6}=c^{7}$ có vô số nghiệm nguyên dương.
Bài 9: Chứng minh phương trình $a^{2}+b^{4}+c^{6}=x^{3}+y^{5}+z^{7}$ có vô số nghiệm nguyên.
Xin kết thúc bài viết, mọi người có thể xem hướng dẫn bài tập áp dụng trong file pdf
Mở rộng từ bài toán đơn giản.pdf 109.55K
248 Số lần tải
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davidsilva98: 07-05-2014 - 00:10
