Chủ đề này có 1 trả lời

[lelinh99]

Chứng minh rằng: Nếu đa thức P(x) = $x^4+bx^3+cx^2+bx+1$ có nghiệm thì $\left | 2b \right |+\left | c \right |\geq 2$

[NMDuc98]

Chứng minh rằng: Nếu đa thức P(x) = $x^4+bx^3+cx^2+bx+1$ có nghiệm thì $\left | 2b \right |+\left | c \right |\geq 2$

Giả sử $x_0$ là nghiệm của phương trình.Dễ thấy $x_0 \ne 0$.

Ta có:

$x_0^4+bx_0^3+cx_0^2+bx_0+1=0$ 

$\Leftrightarrow \left ( x_0^2+\frac{1}{x_0^2} \right )+b\left (x_0+\frac{1}{x_0} \right )+c=0$

$\Leftrightarrow \left ( x_0+\frac{1}{x_0} \right )^2+b\left (x_0+\frac{1}{x_0} \right )+c-2=0~~~~(*)$

Đặt:$t=x_0+\frac{1}{x_0} ~~(|t|\ge 2)$

Khi đó phương trình $(*)$ trở thành:

$t^2+bt+c-2=0\\\Leftrightarrow bt+c=2-t^2\\\Leftrightarrow |bt+c|=|2-t^2|$

Vì $|bt+c|\leq |bt|+|c|\Rightarrow |2-t^2|\leq |bt|+|c|\\\Rightarrow \frac{|2-t^2|}{|t|}\leq |b|+\frac{|c|}{|t|}\leq |b|+\frac{|c|}{2}$

Mặt khác:

$\frac{|2-t^2|}{|t|}=\frac{t^2-2}{|t|}=|t|-\frac{2}{|t|}\geq 1\\\Rightarrow |b|+\frac{|c|}{2}\geq 1\Leftrightarrow |2b|+|c|\geq 2~~~(Dpcm)$