Chủ đề này có 1 trả lời

[kevotinh2802]

Cho a+b+c=6 và 0<=a,b,c<=4. Tìm max và min của $P=a^4+b^4+c^4+24(1-a)(1-b)(1-c)$

[nguyenhongsonk612]

Cho a+b+c=6 và 0<=a,b,c<=4. Tìm max và min của $P=a^4+b^4+c^4+24(1-a)(1-b)(1-c)$

Giải:

Đặt $x=a-2;y=b-2;z=c-2$$\Rightarrow x+y+z= 0\Rightarrow$Tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử đó là $x;y$ $\Rightarrow 2xy\geq0$

Ta có: $a,b,c \in [0;4]$ $\Rightarrow x,y,z \in [-2;2]$$\Rightarrow z^2\leq 4$

Trước hết ta đi C/m $0\leq x^2+y^2+z^2\leq 8$ 

Xét biểu thức $A=a^2+b^2+c^2$

$\Rightarrow A=(x+2)^2+(y+2)^2+(z+2)^2 =(x^2+y^2+z^2)+4(x+y+z)+12 =x^2+y^2+z^2+12\geq 12 \Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq 0$ (1)

$A= x^2+y^2+z^2+12\leq (x+y)^2+z^2+12=2z^2+12\leq 20$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\leq 8$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $0\leq x^2+y^2+z^2\leq 8$

Xét tích $(4-a)(4-b)(4-c)\geq0$

$\Leftrightarrow 64-16(a+b+c)+4(ab+bc+ca)\geq abc\geq 0 \Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 8$

$\Rightarrow (x+2)(y+2)+(y+2)(z+2)+(z+2)(y+2)\geq 8 \Leftrightarrow xy+yz+zx+4(x+y+z)+12\geq 8 \Leftrightarrow xy+yz+zx\geq -4 \Leftrightarrow -24(xy+yz+zx)\leq 96$

Vì $x+y+z=0$

$\Rightarrow 0=(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)\geq2(xy+yz+zx) \Rightarrow xy+yz+zx\leq 0$

Ta có:

$P= (x+2)^4+(y+2)^4+(z+2)^4-24(x+1)(y+1)(z+1)= x^4+y^4+z^4+8(x^3+y^3+z^3-3xyz)+24(x^2+y^2+z^2)-24(xy+yz+zx)+24+32(x+y+z)= x^4+y^4+z^4+24(x^2+y^2+z^2)-24(xy+yz+zx)+24\geq 24$

Vậy min $P=24$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=0\Leftrightarrow a=b=c=2$

Ta C/m $x^4+y^4+z^4\leq 4x^2+4y^2+4z^2$ $\Leftrightarrow x^2(x^2-4)+y^2(y^2-4)+z^2(z^2-4)\leq 0$ (luôn đúng do $x,y,z \in[-2;2]$)

$\Rightarrow x^4+y^4+z^4\leq32$

$P= x^4+y^4+z^4+24(x^2+y^2+z^2)-24(xy+yz+zx)+24\leq 32+24.8+96+24=344$

Vậy Max $P=344$. Dấu "=" khi và chỉ khi $a=4;b=2;c=0$ và các hoán vị.