Chủ đề này có 7 trả lời

[ILOVECR7]

1.Cho x,y,z không âm thỏa mãn x+y+z=1. Chứng minh: xy+yz+xz $\leq \frac{2}{7}+\frac{9}{7}xyz$

2.Cho x,y thỏa mãn x²+xy+y²=1. Tìm Max P= x³y + xy³

[trang91ht]

Bài 2

Ta có $P=x^{3}y+y^{3}x = xy\left ( x^{2}+y^{2} \right )$

vì $x^{2}+y^{2}+xy=1$ $\Rightarrow x^{2}+y^{2}=1-xy$

$\Rightarrow P=xy(1-xy)=xy(\frac{2}{3}-xy)+\frac{1}{3}xy$

Áp dụng HĐT: $$xy\left ( \frac{2}{3} \right - xy)\leqslant \frac{(xy+\frac{2}{3}-xy)^{2}}{4}=\frac{1}{9}$ (1)$

Tiếp tục sd HĐT $(x+y)^{2}\geqslant 0 \Rightarrow 2xy\leqslant x^{2}+y^{2}$

$\Rightarrow 3xy\leq x^{2}+xy+y^{2}= 1 \Rightarrow xy\leqslant \frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{3}xy\leqslant \frac{1}{9} (2)$

Từ (1) (2) $\Rightarrow$ $P_{max}=\frac{2}{9}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trang91ht: 06-05-2014 - 00:48

[Binh Le]

Làm nốt bài 1

Với điều kiện bài toán

BĐT cần cm được viết lại $P=xy(1-\frac{9}{7}z)+z(1-z)-\frac{2}{7}\leq 0$

Nếu $z=\frac{7}{9}$ thì $P=\frac{-64}{567}$

Nếu $z\neq \frac{7}{9}$ thì $P$ là hàm bậc nhất của $xy$

Lại có $0\leq xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}=\frac{(1-z)^{2}}{4}$

Mặt khác $f(0)=-(z-\frac{1}{2})^{2}-\frac{1}{28}< 0$

                $f(\frac{(1-z)^{2}}{4})=-(z+1)(3z-1)^{2}\leq 0$

Từ đó suy ra $P\leq 0$ (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Binh Le: 06-05-2014 - 05:10

[ILOVECR7]

Có ai còn cách nào giải bài 1 mà không cần xét hàm không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILOVECR7: 06-05-2014 - 21:10

[hoanganhhaha]

mình còn cách này dùng bdt schur cho đỡ phức tạp :v 

$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(1-2x)(1-2y)(1-2z)=-8xyz-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)+1 =-8xyz+4(xy+yz+zx)-1$

hay là $9xyz +1 \geq 4(xy+yz+xz)$

bdt cần cm sẽ viết lại thành 

$4(xy+yz+zx)+3(xy+yz+zx)\leq 1+(1+9xyz)$

mà $9xyz +1 \geq 4(xy+yz+xz)$ nên ta đi  c/m $1\geq 3(xy+yz+zx)$
cái này đúng khi thay x+y+z=1 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanganhhaha: 06-05-2014 - 21:16

[ILOVECR7]

mình còn cách này dùng bdt schur cho đỡ phức tạp :v 

$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(1-2x)(1-2y)(1-2z)=-8xyz-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)+1 =-8xyz+4(xy+yz+zx)-1$

hay là $9xyz +1 \geq 4(xy+yz+xz)$

bdt cần cm sẽ viết lại thành 

$4(xy+yz+zx)+3(xy+yz+zx)\leq 1+(1+9xyz)$

mà $9xyz +1 \geq 4(xy+yz+xz)$ nên ta đi  c/m $1\geq 3(xy+yz+zx)$
cái này đúng khi thay x+y+z=1 

Cái này chứng minh xy+yz+xz$\leq \frac{1}{4}+\frac{9}{4}xyz$ rồi

[hoanganhhaha]

là sao nhỉ, mình k hiểu ý bạn lắm

[ILOVECR7]

Bạn chuyển vế sau khi chứng minh là thấy đó