Chủ đề này có 5 trả lời

[vdttien]

Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế được xếp thành:

a) một hàng ngang

b) một vòng tròn

Sao cho không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vdttien: 06-05-2014 - 11:32

[hxthanh]

 

Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế được xếp thành:

a) một hàng ngang

b) một vòng tròn

Sao cho không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau?

 

a) ${}\quad \underbrace{\ldots}_{x_1}N_1\underbrace{\ldots}_{x_2}N_2\underbrace{\ldots}_{x_3}N_3\underbrace{\ldots}_{x_4}N_4\underbrace{\ldots}_{x_5}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1;\;x_5 \ge 0 \\  x_2;\;x_3;\;x_4 \ge 1\\  x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=6 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}  y_1=x_1+1 \\  y_5=x_5+1 \\  y_1;\;x_2;\;x_3;\;x_4;\;y_5 \ge 1\\  y_1+x_2+x_3+x_4+y_5=8 \end{array} \right. \Rightarrow\; {}$ Có $C_7^4$ nghiệm.

 

Do đó số cách xếp thỏa mãn là $C_7^4\times 4!\times 6!=604800$

 

b) ${}\quad N_1\underbrace{\ldots}_{x_1}N_2\underbrace{\ldots}_{x_2}N_3\underbrace{\ldots}_{x_3}N_4\underbrace{\ldots}_{x_4}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1;\; x_2;\;x_3;\;x_4 \ge 1\\  x_1+x_2+x_3+x_4=6 \end{array} \right. \Rightarrow\; {}$ Có $C_5^3$ nghiệm.

 

Do đó số cách xếp thỏa mãn là $C_5^3\times 4!\times 6!=172800$

[vdttien]

Mình chưa hiểu cách làm của bạn lắm. Nhất là phần tính nghiệm, sao biết nó có bao nhiêu nghiệm?

[hxthanh]

Mình chưa hiểu cách làm của bạn lắm. Nhất là phần tính nghiệm, sao biết nó có bao nhiêu nghiệm?

Đó là kết quả quen thuộc của bài toán chia kẹo Euler: "Có bao nhiêu cách chia $n$ cái kẹo cho $m$ đứa trẻ sao cho đứa trẻ nào cũng có kẹo"

Hay là số nghiệm nguyên của phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+...+x_m=n \\ x_1,x_2,...,x_m \geq 1 \end{array} \right.$

Cách đếm như sau:

Đặt $n$ cái kẹo trên một hàng, giữa chúng có $n-1$ khoảng cách. Ta đặt vào đó $m-1$ vách ngăn "|" để chia thành $m$ phần, mỗi phần đó tương ứng chia cho một đứa trẻ. Rõ ràng ta có $C_{n-1}^{m-1}$ cách để thực hiện việc này.

 

Phần b) của bài toán, bạn có thể hiểu như sau: Vì là một vòng tròn nên khi sắp thứ tự thành một hàng, ta có thể xếp từ bất cứ vị trí nào trên vòng tròn. Giả sử bắt đầu từ bạn nữ thứ nhất $(N_1)$, lưu ý là cuối cùng của dãy sắp xếp không thể là bạn nữ bởi cuối hàng và đầu hàng là kề nhau, hay nói cách khác là số bạn nam ở cuối hàng phải lớn hơn 0 $(x_4 \ge 1)$

[phunguyen]

 

 

 

a) ${}\quad \underbrace{\ldots}_{x_1}N_1\underbrace{\ldots}_{x_2}N_2\underbrace{\ldots}_{x_3}N_3\underbrace{\ldots}_{x_4}N_4\underbrace{\ldots}_{x_5}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1;\;x_5 \ge 0 \\  x_2;\;x_3;\;x_4 \ge 1\\  x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=6 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}  y_1=x_1+1 \\  y_5=x_5+1 \\  y_1;\;x_2;\;x_3;\;x_4;\;y_5 \ge 1\\  y_1+x_2+x_3+x_4+y_5=8 \end{array} \right. \Rightarrow\; {}$ Có $C_7^4$ nghiệm.

 

Do đó số cách xếp thỏa mãn là $C_7^4\times 4!\times 6!=604800$

 

b) ${}\quad N_1\underbrace{\ldots}_{x_1}N_2\underbrace{\ldots}_{x_2}N_3\underbrace{\ldots}_{x_3}N_4\underbrace{\ldots}_{x_4}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} x_1;\; x_2;\;x_3;\;x_4 \ge 1\\  x_1+x_2+x_3+x_4=6 \end{array} \right. \Rightarrow\; {}$ Có $C_5^3$ nghiệm.

 

Do đó số cách xếp thỏa mãn là $C_5^3\times 4!\times 6!=172800$

 

bạn ơi, mình thấy câu b) do bàn tròn nên phải là nhân cho $3!$ phải không bạn? 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phunguyen: 18-08-2016 - 11:15

[LAdiese]

bạn ơi, mình thấy câu b) do bàn tròn nên phải là nhân cho $3!$ phải không bạn? 

Kiến nghị 1 lời giải "nhẹ nhàng" hơn...

Câu a: Xếp 6 bạn nam: $6!$ cách

Xếp 4 bạn nữ vào 7 khoảng trống (giữa 6 bạn nam và 2 đầu mút của hàng): $A_{7}^{4}$ cách

Số cách xếp thỏa yc:

$6!.A_{7}^{4}=720.7.6.5.4=604800$ cách

Câu b: mình nghĩ như sau, xin các bạn cho ý kiến:

Xếp 6 bạn nam vào bàn tròn: $5!$ cách

Xếp 4 bạn nữ vào 6 khoảng trống (giữa 6 bạn nam): $A_{6}^{4}$ cách

Số cách xếp thỏa yc:

$5!.A_{6}^{4}=120.6.5.4.3=43200$ cách

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LAdiese: 18-08-2016 - 13:15