Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geqslant \frac{4}{3}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 07-05-2014 - 20:23

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $abc=8$. CMR: $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geqslant \frac{4}{3}$


Đứng dậy và bước tiếp

#2 nk0kckungtjnh

nk0kckungtjnh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 254 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tôn Quang Phiệt - Đồng Văn- Thanh Chương- Nghệ An
  • Sở thích:Làm Toán

Đã gửi 07-05-2014 - 21:13

Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $abc=8$. CMR: $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{(1+a^{3})(1+b^{3})}}\geqslant \frac{4}{3}$

Lời giải: 

 Chú ý rằng với điểm rơi $a=b=c=3$ thì theo BĐT $AM-GM$: 

 

Ta có: $\sqrt{a^{3}+1}=\sqrt{(a^{2}-a+1)(a+1)} \leq \frac{a^{2}+2}{2}$. Tương tự thì $\sqrt{b^{3}+1} \leq \frac{b^{2}+2}{2}$

 

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{\sqrt{(a^{3}+1)(b^{3}+1)}}\geq \frac{4a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}$

 

Do đó ta cần chứng minh $\sum \frac{4a^{2}}{(a^{2}+2)(b^{2}+2)}\geq \frac{4}{3}$

 

Ta sẽ chứng minh BĐT sau là đúng: $ xy+yz+xz+2(x+y+z) \geq \frac{1}{3}(x+2)(y+2)(z+2)$ $(*)$

 

Trong đó $x=a^{2};y=b^{2};z=c^{2} \Rightarrow xyz=64$

 

Mặt khác ta dễ dàng chứng minh $(*)$ bằng BĐT $AM-GM$ như sau:

 

$(*) \Leftrightarrow xy+yz+xz+2(x+y+z) \geq 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}+2.3\sqrt[3]{xyz}=72$ (đúng)

 

Cực trị đạt được tại tâm 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nk0kckungtjnh: 07-05-2014 - 21:19

             Hãy Đánh Bại Những Gì Yếu Đuối Để Biết Rằng


         Nỗ Lực Hơn Hẳn Tài Năng

- Nhân Chính -

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh