Đến nội dung

Hình ảnh

Phương pháp giải tích ứng dụng vào ĐSTT

* * * - - 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Thân gửi các bạn DĐTH: Qua một thời gian theo dõi, tôi thấy rằng DĐ chúng ta chủ yếu chỉ làm các việc sau:

_Tranh luận về quan điểm
_Giới thiệu sơ qua về những ngành khá chuyên sâu
_Thách đố nhau giải các bài toán

Tôi thấy còn một mảng mà DĐ hơi bị thiếu đó là giới thiệu những phương pháp giải toán cơ bản. Mong các bạn đóng góp nhiều hơn về lĩnh vực này. Để bắt đầu tôi xin giới thiệu một phương pháp căn bản.

1) Ý tưởng: Giả sử ta cần chứng minh rằng một mệnh đề nào đó đúng cho tất cả các ma trận, ta chứng minh nó trước hết cho những ma trận đặc biệt như là ma trận khả nghịch hay chéo hóa được...Sau đó đối với một ma trận A tổng quát ta chọn một dãy A_n các ma trận đặc biệt hội tụ tới A, sau đó lấy giới hạn kết quả khi n\rightarrow\ìnty.

Cơ sở của phương pháp:

_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma trận khả nghịch.

_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma tận chéo hóa được phức. Điều này là vì khi ta nhiễu ma trận đi một chút, đa thức đặc trưng của nó sẽ có các nghiệm phức đơn, do đó chéo hóa được trong trường phức.

2) Ví dụ minh họa:

VD1: Cho A, B là hai ma trận nxn. Chứng minh AB và BA có cùng trị riêng.

Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh rằng AB và BA có cùng đa thức đặc trưng.

Trước hết xét trường hợp B khả nghịch. Ta có BA=B(AB)B^{-1} do đó AB và BA cùng đa thức đặc trưng.

Xét trường hợp tổng quát. Ta chọn một dãy các ma trận khả nghịch B_n hội tụ về B. Theo kết quả vừa chứng minh ta có B_nA và AB_n có cùng đa thức đặc trưng với mọi n=1,2,... Cho n\rightarrow\ìnty ta được điều phải chứng minh.

VD2: Cho A là ma trận nxn, g là đa thức đặc trưng của A. Chứng minh rằng g(A)=0.

Hướng dẫn chứng minh: Trước hết xét trường hợp A chéo hóa được. Sau đó dùng phương pháp xấp xỉ như trên.

VD3: Cho A là ma trận nxn. Chứng minh det(e^{A})=e^{trace (A)}.

Hướng dẫn: Xét trường hợp A chéo hóa được trước tiên.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#2
Kakalotta

Kakalotta

    Thèm lấy vợ

  • Thành viên
  • 805 Bài viết
Cậu dùng từ ngữ không được chính xác lắm. Chỉ cần nói rằng tập hợp tất cả các ma trận chéo hóa được là mở Zariski trong C^n^2, do đó tất cả các CM với hàm liên tục trên C^n^2 chỉ cần thực hiện trên một ma trận chéo hóa được, đủ tổng quát là được.
PhDvn.org

#3
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
To KK: Tôi không nhớ được nhiều thuật ngữ lắm, nhất là trong topo. :D

Bài toán dưới đây, tôi có tìm ra một cách giải nhưng không hoàn toàn giống như cách giải đã post ở bài trước. Liệu bạn nào có thể tìm ra cách giải xấp xỉ không? Vì tôi còn phải kiểm tra lại lời giải nên chưa thể post ngay ở đây.

VD4: Cho A là ma trận thực. Chứng minh AA^{T} có các trị riêng là bình phương của những trị riêng của A.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#4
Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết
1 Em thấy từ trù mật là dễ hiểu nhất
2

VD4: Cho A là ma trận thực. Chứng minh AA^{T} có các trị riêng là bình phương của những trị riêng của A


Em làm theo cách của anh , A có 1 dãy các ma trận chéo hóa đc hội tụ đến nên ta chỉ cần xét 1 mt chéo hóa đc , nhưng do 2 mt đồng dạng thì có cg` gt riêng nên chỉ cần xét 1 ma trận đã có dạng chéo , và đương nhiên đúng khi 1 mt chéo là bất biến qua phép chuyển vị và các giá trị riêng nằm trên đg` chéo của nó
ko co j` thi` cg~ chang~ co' j` !!!

#5
toanA37

toanA37

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

1) Ý tưởng: Giả sử ta cần chứng minh rằng một mệnh đề nào đó đúng cho tất cả các ma trận, ta chứng minh nó trước hết cho những ma trận đặc biệt như là ma trận khả nghịch hay chéo hóa được...Sau đó đối với một ma trận A tổng quát ta chọn một dãy A_n các ma trận đặc biệt hội tụ tới A, sau đó lấy giới hạn kết quả khi n\rightarrow\ìnty.

Cơ sở của phương pháp:

_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma trận khả nghịch.

_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma tận chéo hóa được phức. Điều này là vì khi ta nhiễu ma trận đi một chút, đa thức đặc trưng của nó sẽ có các nghiệm phức đơn, do đó chéo hóa được trong trường phức.

Phương pháp sử dụng dãy ma trận này cũng hay!. Nhưng nếu đi thi mà làm bài bằng cách này thì mình nghĩ rằng sẽ khó đựơc thầy chấp nhận bởi các kết quả về dãy các ma trận không được sử dụng phổ biến trong trương trình học ở ĐH. Các ví dụ 1, 2 đều có thể giải bằng những cách thông thường và tự nhiên hơn. Nhưng với VD 3 thì đúng là phải dùng đến dãy rồi.
Tiện đây mọi người làm thủ bài này xem thế nào?

Tìm điều kiện cần và đủ với ma trận A để tồn tại $LimA^{n}$

#6
mfaotch

mfaotch

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

Phương pháp sử dụng dãy ma trận này cũng hay!. Nhưng nếu đi thi mà làm bài bằng cách này thì mình nghĩ rằng sẽ khó đựơc thầy chấp nhận bởi các kết quả về dãy các ma trận không được sử dụng phổ biến trong trương trình học ở ĐH. Các ví dụ 1, 2 đều có thể giải bằng những cách thông thường và tự nhiên hơn. Nhưng với VD 3 thì đúng là phải dùng đến dãy rồi.
Tiện đây mọi người làm thủ bài này xem thế nào?

Tìm điều kiện cần và đủ với ma trận A để tồn tại $LimA^{n}$

VD3 cần gì dùng đến cách trên, dựa vào định nghĩa thôi. Còn bài toán mà 'toanA37' đưa ra đã có trong sách rồi. 'toanA37' xem lại nhé, nó cũng không phức tạp lắm.

#7
toanA37

toanA37

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết

VD3 cần gì dùng đến cách trên, dựa vào định nghĩa thôi. Còn bài toán mà 'toanA37' đưa ra đã có trong sách rồi. 'toanA37' xem lại nhé, nó cũng không phức tạp lắm.

Bài này mình cũng đã làm rồi! Nó ở phần tự giải trong cuốn của Trần Lưu Cường. Bạn có thể giới thiệu cho mình cuốn sách có lời giải đó được không? Cám ơn trước nhé!

#8
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Một bài toán cũng khá thú vị có thể giải bằng phương pháp này: Nếu A, B là hai ma trận vuông nxn thỏa mãn $Ae^B=e^BA$ thì AB=BA.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#9
Bếch Hâm

Bếch Hâm

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
Có một bài toán thế này, giải mãi không ra, các bạn giúp với:
Cho H,G là hai ma trận có chiều là m*n và m*p; P>0. Tìm ma trận Q definite positive với tr(Q) <= P sao cho đại lượng sau lớn nhất logdet(I+HQH')-logdet(I+GQG').

#10
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết

Có một bài toán thế này, giải mãi không ra, các bạn giúp với:
Cho H,G là hai ma trận có chiều là m*n và m*p; P>0. Tìm ma trận Q definite positive với tr(Q) <= P sao cho đại lượng sau lớn nhất logdet(I+HQH')-logdet(I+GQG').

Bài này khó quá, botay.com. Mà bài này xuất phát từ đâu vậy?

Trở lại bài $Ae^B=e^BA$.

Bước 1: Xét trường hợp B là ma trận đường chéo=> kiểm tra đơn giản.

Bước 2: $B=MCM^{-1} $ với C là ma trận đường chéo. Sử dụng $e^B=Me^CM^{-1}$ đưa về trường hợp 1.

Bước 3: Với B tổng quát tìm a sao cho B+aI có tất cả trị riêng (phức) phân biệt=>đưa về bước 2.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#11
Bếch Hâm

Bếch Hâm

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết
Bài này xuất phát từ một vấn đề về security trong mạng wireless.

Bài này khó quá, botay.com. Mà bài này xuất phát từ đâu vậy?



#12
kakalot

kakalot

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết

Tìm điều kiện cần và đủ với ma trận A để tồn tại $LimA^{n}$


Bài này xét dạng ma trận diagonal trước, sau đó tổng quát lên, dùng thêm ý của anh TLCT nữa là xong !
Reserve your right to think, for even to think wrongly is better than not to think at all -Hypatia- A woman Mathematician

#13
NhatRio

NhatRio

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết
anh toilachinhtoi ơi, cho em hỏi, anh có biết tài liệu nào nói về vấn đề này không anh? chỉ em với, tài liệu nước ngoài cũng được ạ!

#14
CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1456 Bài viết
Hiện nay những nick toilachinhtoi, kakalot, Bếch hâm không còn lên diễn đàn nữa bạn ạ!

#15
NhatRio

NhatRio

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Hiện nay những nick toilachinhtoi, kakalot, Bếch hâm không còn lên diễn đàn nữa bạn ạ!

SAO VẬY ANH, MẤY ANH(CHỊ) ẤY KHÔNG CÒN THAM GIA NỮA À ANH?




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh