Phương pháp giải tích ứng dụng vào ĐSTT
#1
Đã gửi 10-03-2006 - 10:47
_Tranh luận về quan điểm
_Giới thiệu sơ qua về những ngành khá chuyên sâu
_Thách đố nhau giải các bài toán
Tôi thấy còn một mảng mà DĐ hơi bị thiếu đó là giới thiệu những phương pháp giải toán cơ bản. Mong các bạn đóng góp nhiều hơn về lĩnh vực này. Để bắt đầu tôi xin giới thiệu một phương pháp căn bản.
1) Ý tưởng: Giả sử ta cần chứng minh rằng một mệnh đề nào đó đúng cho tất cả các ma trận, ta chứng minh nó trước hết cho những ma trận đặc biệt như là ma trận khả nghịch hay chéo hóa được...Sau đó đối với một ma trận A tổng quát ta chọn một dãy A_n các ma trận đặc biệt hội tụ tới A, sau đó lấy giới hạn kết quả khi n\rightarrow\ìnty.
Cơ sở của phương pháp:
_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma trận khả nghịch.
_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma tận chéo hóa được phức. Điều này là vì khi ta nhiễu ma trận đi một chút, đa thức đặc trưng của nó sẽ có các nghiệm phức đơn, do đó chéo hóa được trong trường phức.
2) Ví dụ minh họa:
VD1: Cho A, B là hai ma trận nxn. Chứng minh AB và BA có cùng trị riêng.
Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh rằng AB và BA có cùng đa thức đặc trưng.
Trước hết xét trường hợp B khả nghịch. Ta có BA=B(AB)B^{-1} do đó AB và BA cùng đa thức đặc trưng.
Xét trường hợp tổng quát. Ta chọn một dãy các ma trận khả nghịch B_n hội tụ về B. Theo kết quả vừa chứng minh ta có B_nA và AB_n có cùng đa thức đặc trưng với mọi n=1,2,... Cho n\rightarrow\ìnty ta được điều phải chứng minh.
VD2: Cho A là ma trận nxn, g là đa thức đặc trưng của A. Chứng minh rằng g(A)=0.
Hướng dẫn chứng minh: Trước hết xét trường hợp A chéo hóa được. Sau đó dùng phương pháp xấp xỉ như trên.
VD3: Cho A là ma trận nxn. Chứng minh det(e^{A})=e^{trace (A)}.
Hướng dẫn: Xét trường hợp A chéo hóa được trước tiên.
- Beautifulsunrise yêu thích
The Buddha
#2
Đã gửi 13-03-2006 - 03:11
- Beautifulsunrise yêu thích
#3
Đã gửi 13-03-2006 - 15:53
Bài toán dưới đây, tôi có tìm ra một cách giải nhưng không hoàn toàn giống như cách giải đã post ở bài trước. Liệu bạn nào có thể tìm ra cách giải xấp xỉ không? Vì tôi còn phải kiểm tra lại lời giải nên chưa thể post ngay ở đây.
VD4: Cho A là ma trận thực. Chứng minh AA^{T} có các trị riêng là bình phương của những trị riêng của A.
- Beautifulsunrise yêu thích
The Buddha
#4
Đã gửi 19-08-2007 - 06:58
2
VD4: Cho A là ma trận thực. Chứng minh AA^{T} có các trị riêng là bình phương của những trị riêng của A
Em làm theo cách của anh , A có 1 dãy các ma trận chéo hóa đc hội tụ đến nên ta chỉ cần xét 1 mt chéo hóa đc , nhưng do 2 mt đồng dạng thì có cg` gt riêng nên chỉ cần xét 1 ma trận đã có dạng chéo , và đương nhiên đúng khi 1 mt chéo là bất biến qua phép chuyển vị và các giá trị riêng nằm trên đg` chéo của nó
- Beautifulsunrise yêu thích
#5
Đã gửi 26-08-2007 - 00:29
Phương pháp sử dụng dãy ma trận này cũng hay!. Nhưng nếu đi thi mà làm bài bằng cách này thì mình nghĩ rằng sẽ khó đựơc thầy chấp nhận bởi các kết quả về dãy các ma trận không được sử dụng phổ biến trong trương trình học ở ĐH. Các ví dụ 1, 2 đều có thể giải bằng những cách thông thường và tự nhiên hơn. Nhưng với VD 3 thì đúng là phải dùng đến dãy rồi.1) Ý tưởng: Giả sử ta cần chứng minh rằng một mệnh đề nào đó đúng cho tất cả các ma trận, ta chứng minh nó trước hết cho những ma trận đặc biệt như là ma trận khả nghịch hay chéo hóa được...Sau đó đối với một ma trận A tổng quát ta chọn một dãy A_n các ma trận đặc biệt hội tụ tới A, sau đó lấy giới hạn kết quả khi n\rightarrow\ìnty.
Cơ sở của phương pháp:
_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma trận khả nghịch.
_Mọi ma trận vuông nxn đều có thể xấp xỉ bằng những ma tận chéo hóa được phức. Điều này là vì khi ta nhiễu ma trận đi một chút, đa thức đặc trưng của nó sẽ có các nghiệm phức đơn, do đó chéo hóa được trong trường phức.
Tiện đây mọi người làm thủ bài này xem thế nào?
Tìm điều kiện cần và đủ với ma trận A để tồn tại $LimA^{n}$
- Beautifulsunrise yêu thích
#6
Đã gửi 26-08-2007 - 01:07
VD3 cần gì dùng đến cách trên, dựa vào định nghĩa thôi. Còn bài toán mà 'toanA37' đưa ra đã có trong sách rồi. 'toanA37' xem lại nhé, nó cũng không phức tạp lắm.Phương pháp sử dụng dãy ma trận này cũng hay!. Nhưng nếu đi thi mà làm bài bằng cách này thì mình nghĩ rằng sẽ khó đựơc thầy chấp nhận bởi các kết quả về dãy các ma trận không được sử dụng phổ biến trong trương trình học ở ĐH. Các ví dụ 1, 2 đều có thể giải bằng những cách thông thường và tự nhiên hơn. Nhưng với VD 3 thì đúng là phải dùng đến dãy rồi.
Tiện đây mọi người làm thủ bài này xem thế nào?
Tìm điều kiện cần và đủ với ma trận A để tồn tại $LimA^{n}$
- Beautifulsunrise yêu thích
#7
Đã gửi 27-08-2007 - 20:20
Bài này mình cũng đã làm rồi! Nó ở phần tự giải trong cuốn của Trần Lưu Cường. Bạn có thể giới thiệu cho mình cuốn sách có lời giải đó được không? Cám ơn trước nhé!VD3 cần gì dùng đến cách trên, dựa vào định nghĩa thôi. Còn bài toán mà 'toanA37' đưa ra đã có trong sách rồi. 'toanA37' xem lại nhé, nó cũng không phức tạp lắm.
- Beautifulsunrise yêu thích
#8
Đã gửi 09-10-2007 - 08:05
- Beautifulsunrise yêu thích
The Buddha
#9
Đã gửi 09-10-2007 - 17:59
Cho H,G là hai ma trận có chiều là m*n và m*p; P>0. Tìm ma trận Q definite positive với tr(Q) <= P sao cho đại lượng sau lớn nhất logdet(I+HQH')-logdet(I+GQG').
- Beautifulsunrise yêu thích
#10
Đã gửi 15-10-2007 - 08:41
Bài này khó quá, botay.com. Mà bài này xuất phát từ đâu vậy?Có một bài toán thế này, giải mãi không ra, các bạn giúp với:
Cho H,G là hai ma trận có chiều là m*n và m*p; P>0. Tìm ma trận Q definite positive với tr(Q) <= P sao cho đại lượng sau lớn nhất logdet(I+HQH')-logdet(I+GQG').
Trở lại bài $Ae^B=e^BA$.
Bước 1: Xét trường hợp B là ma trận đường chéo=> kiểm tra đơn giản.
Bước 2: $B=MCM^{-1} $ với C là ma trận đường chéo. Sử dụng $e^B=Me^CM^{-1}$ đưa về trường hợp 1.
Bước 3: Với B tổng quát tìm a sao cho B+aI có tất cả trị riêng (phức) phân biệt=>đưa về bước 2.
- Beautifulsunrise yêu thích
The Buddha
#11
Đã gửi 17-10-2007 - 04:28
Bài này khó quá, botay.com. Mà bài này xuất phát từ đâu vậy?
- Beautifulsunrise yêu thích
#12
Đã gửi 18-10-2007 - 05:45
Tìm điều kiện cần và đủ với ma trận A để tồn tại $LimA^{n}$
Bài này xét dạng ma trận diagonal trước, sau đó tổng quát lên, dùng thêm ý của anh TLCT nữa là xong !
- Beautifulsunrise yêu thích
#13
Đã gửi 03-11-2011 - 01:54
- Beautifulsunrise yêu thích
#14
Đã gửi 03-11-2011 - 10:28
#15
Đã gửi 03-11-2011 - 21:12
SAO VẬY ANH, MẤY ANH(CHỊ) ẤY KHÔNG CÒN THAM GIA NỮA À ANH?Hiện nay những nick toilachinhtoi, kakalot, Bếch hâm không còn lên diễn đàn nữa bạn ạ!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh