Cho x,y,z là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2$
Tìm GTLN của biểu thức $A=(x-1)(y-1)(z-1)$
Tìm max $A=(x-1)(y-1)(z-1)$
Bắt đầu bởi nguyenkimanh12, 08-05-2014 - 21:32
#2
Đã gửi 08-05-2014 - 22:03
xCaroZ
-
- Thành viên
-
- 37 Bài viết
Binh nhất
Cho x,y,z là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2$
Tìm GTLN của biểu thức $A=(x-1)(y-1)(z-1)$
Theo giả thiết ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 2$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x} \geq 1-\frac{1}{y} +1-\frac{1}{z} =\frac{y-1}{y} +\frac{z-1}{z} \geq 2\sqrt{\frac{(y-1)(z-1)}{yz}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{(y-1)(z-1)} \leq \frac{\sqrt{yz}}{2x}$ $(1)$
tương tự ta có: $\sqrt{(y-1)(x-1)} \leq \frac{\sqrt{xy}}{2z}$ $(2)$
$\sqrt{(x-1)(z-1)} \leq \frac{\sqrt{zx}}{2y}$ $(3)$
nhân theo vế các bất đẳng thức $(1),(2)$ và $(3)$ ta có $A=(x-1)(y-1)(z-1) \leq \frac{1}{8}$
Vậy,$MaxA=\frac{1}{8}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}\frac{y-1}{y}=\frac{z-1}{z}=\frac{x-1}{x} \\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} =2 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow$ $x=y=z=\frac{3}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 08-05-2014 - 22:12
- 25 minutes, nguyentrungphuc26041999, Phuong Thu Quoc và 1 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
