Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 9 - Bất đẳng thức

mss 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 61 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-05-2014 - 19:53

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 09/05/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

I - Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu và tổng hợp kết qủa

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.


Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 
Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

3) Thành viên diễn đàn không đăng kí thi đấu vẫn có thể giải bài, nhưng phải ghi rõ là: Mình không phải là toán thủ thi đấu

 

4) Sau trận 9, sẽ có 08 toán thủ ít điểm nhất bị loại. 


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-05-2014 - 20:02

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 09-05-2014 - 20:10

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Bài làm của toán thủ MSS 04: Nguyễn trung Hiếu.

Ta có: từ giả thiết $xyz=1$ suy ra

$E=\dfrac{(xyz)^2}{x^3(y+z)}+\dfrac{(xyz)^2}{y^3(z+x)}+\dfrac{(xyz)^2}{z^3(x+y)}=\dfrac{(yz)^2}{x(y+z)}+\dfrac{(zx)^2}{y(z+x)}+\dfrac{(xy)^2}{z(x+y)}$

Áp dụng BĐT cauchy-schwarzt ta có $E \geq \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)}=\dfrac{xy+yz+zx}{2}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $xy+yz+zx \geq 3\sqrt[3]{(xyz)^2}=3$ (do $xyz=1$)

Suy ra $E \geq \dfrac{3}{2}$

Vậy E đạt GTNN là $\dfrac{3}{2}$ khi và chỉ khi $x=y=z=1$

 

d = 10

S = 47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:14

:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#4 Tran Nguyen Lan 1107

Tran Nguyen Lan 1107

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10A1 THPT Phan Bội Châu TP Vinh Nghệ An

Đã gửi 09-05-2014 - 20:12

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Ta có $E=\sum \frac{1}{x^{3}(y+z)}=\sum \frac{xyz}{x^{3}(y+z)}=\sum \frac{1}{x^{2}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}$

Đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c=>abc=1$

$E=\sum \frac{1}{\frac{b+c}{a^{2}}}=\sum \frac{a^{2}}{b+c}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki và Côsi ta có:

$(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b})(b+c+a+c+a+b)\geq (a+b+c)^{2}$

Suy ra $E.2(a+b+c)\geq (a+b+c)^{2}<=> E\geq \frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy Min E=$\frac{3}{2}<=>a=b=c<=>x=y=z=1$

 

d=10

S = 47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:15


#5 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 09-05-2014 - 20:17

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Với $x;y;z>0$

Thay $1=x^2y^2z^2$ vào biểu thức ta có:

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$$
$$=\frac{x^2y^2z^2}{x^3(y+z)}+\frac{x^2y^2z^2}{y^3(z+x)}+\frac{x^2y^2z^2}{z^3(x+y)}$$ 
$$=\frac{y^2z^2}{x(y+z)}+\frac{z^2x^2}{y(z+x)}+\frac{x^2y^2}{z(x+y)}$$

Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu ta có:

$$E\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)}$$

$$=\frac{xy+yz+zx}{2}$$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:

$$E\geq \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}$$

Dấu = có khi: $x=y=z=1$



#6 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 09-05-2014 - 20:17

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

MSS 30 :canhhoang30011999

$\frac{1}{x^{3}(y+z)}= \frac{y^{2}z^{2}}{x^{3}y^{2}z^{2}(y+z)}$$= \frac{y^{2}z^{2}}{x(y+z)}$(do $xyz= 1$)

Thiết lập các đẳng thức tương tự ta có

$E= \frac{y^{2}z^{2}}{x(y+z)}+\frac{z^{2}x^{2}}{y(x+z)}+\frac{x^{2}y^{2}}{z(x+y)}$

$\geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{x(y+z)+z(x+y)+y(z+x)}$ (bất đẳng thức Svac-xơ)

$= \frac{xy+yz+zx}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta có

$\frac{xy+yz+zx}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}}{2}= \frac{3}{2}$

$\Rightarrow E\geq \frac{3}{2}$

dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x>o,y>0,z>0 \\ &xyz=1 \\ &\frac{yz}{x(y+z)}=\frac{zx}{y(x+z)}= \frac{xy}{z(x+y)} \\ & xy=yz=zx \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=y=z=1$

Vậy $E_{max}= \frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

d = 10

S= 47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:15


#7 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 09-05-2014 - 20:24

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Bài làm của MSS13: Bùi Minh Hiếu:

Do $xyz=1$ nên tồn tại các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\Rightarrow abc=1$

Từ đó $E=\frac{1}{\frac{1}{a^{3}}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}+\frac{1}{\frac{1}{b^{3}}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})}+\frac{1}{\frac{1}{c^{3}}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}$(Do $abc=1$)

$\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$(Theo BĐT $bunhia $dạng engel)

$\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$(theo BĐT $AM-GM$)

Dấu "=" khi $a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=1$

Vậy $MIN$ E=$\frac{3}{2}$ tại $x=y=z=1$

p/s:Theo quy định không viết dấu $\sum$ nha

 

d=10

S=47


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:17

%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#8 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 09-05-2014 - 20:25

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Mình không phải toán thủ thi đấu  :icon6:

 

Vì $abc=1$ nên ta có

 

$E=\frac{y^3z^3}{y+z}+\frac{x^3y^3}{x+y}+\frac{x^3z^3}{x+z}$

 

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có

 

$\frac{y^3z^3}{y+z}+\frac{x(y+z)}{4}\geqslant 2\sqrt{\frac{xy^3z^3}{4}}=2\sqrt{\frac{y^2z^2}{4}}=yz$ $(1)$

 

Chứng minh tương tự ta cũng có

 

$\frac{z^3x^3}{z+x}+\frac{y(z+x)}{4}\geqslant zx$ $(2)$

 

$\frac{x^3y^3}{x+y}+\frac{z(x+y)}{4}\geqslant xy$ $(3)$

 

Cộng theo từng vế các đánh giá $(1);(2);(3)$ thu được

 

$E+\frac{xy+yz+xz}{2}\geqslant xy+yz+xz\Leftrightarrow E\geqslant \frac{xy+yz+xz}{2}$ $(*)$

 

Mà theo bất đẳng thức $AM-GM$ cho $3$ số dương thì 

 

$\frac{xy+yz+xz}{2}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}(*')$

 

Từ $(*);(*')\Rightarrow E\geqslant \frac{3}{2}$

 

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

Vậy $Min(E)=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$



#9 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 09-05-2014 - 20:33

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

$SBD:\boxed {MSS48}$

 

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow a,b,c>0$ và $abc=1$

$E=\frac{1}{x^2.\frac{y+z}{yz}}+\frac{1}{y^2.\frac{x+z}{xz}}+\frac{1}{z^2.\frac{x+y}{xy}}=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}$ (vì $xyz=1$)

 

Áp dụng AM-GM: $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq a$;    $\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\geq b$;    $\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\geq c$

 

Cộng theo vế 3 BĐT trên, ta được: $E\geq \frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=1$

Vậy $MinE=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$

 

d = 10

S = 45


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:17


#10 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 09-05-2014 - 20:37

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

MSS 30:canhhoang30011999

em xin sửa lại phần kết luận

Vậy $E_{min}= \frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$



#11 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 09-05-2014 - 20:43

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

 

Bài làm của MSS 52:

 

Bất đẳng thức phụ :

1) Với $m,n>0$ ta luôn có $m+n\geq 2\sqrt{mn}$

2)Với  $a,b,c>0$ ta luôn có $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

2)Với  $a,b,c,x,y,z>0$ ta luôn có $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$

 

Chứng minh: 

 

1) $m+n\geq 2\sqrt{mn}\Leftrightarrow (\sqrt{m}-\sqrt{n})^{2}\geq 0$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $m=n$.

 

2) Áp dụng BĐT 1: 

$a+b+c+\sqrt[3]{abc}\geq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{c.\sqrt[3]{abc}}\geq 4.\sqrt{\sqrt{abc.\sqrt[3]{abc}}}=4\sqrt[3]{abc}\Rightarrow a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

3) BĐT trên tương đương:$(x+y+z)(\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z})\geq (a+b+c)^{2}$

 

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a^{2}.\frac{y}{x}+b^{2}.\frac{x}{y})+(b^{2}.\frac{z}{y}+c^{2}.\frac{y}{z})+(c^{2}.\frac{x}{z}+a^{2}.\frac{z}{x})\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)$

 

$(a^{2}.\frac{y}{x}+b^{2}.\frac{x}{y})+(b^{2}.\frac{z}{y}+c^{2}.\frac{y}{z})+(c^{2}.\frac{x}{z}+a^{2}.\frac{z}{x})\geq 2(ab+bc+ca)$ (1)

 

Áp dụng BĐT 1 

Ta có :  $VT (1) \geq 2\sqrt{a^{2}.\frac{y}{x}.b^{2}.\frac{x}{y}}+2\sqrt{b^{2}.\frac{z}{y}+c^{2}.\frac{y}{z}}+2\sqrt{c^{2}.\frac{x}{z}+a^{2}.\frac{z}{x}}$

$=2(ab+bc+ca)=VP(1)$

$\Rightarrow (1)$ đúng $\Rightarrow$đpcm.

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$

 

 

Trở lại bài toán: 

 

Đặt $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}(a,b,c>0)$

 

$\Rightarrow abc=1$

 

$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

$\Leftrightarrow E=\frac{1}{\frac{1}{a^{3}}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}+\frac{1}{\frac{1}{b^{3}}(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})}+\frac{1}{\frac{1}{c^{3}}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}$

$=\frac{a^{3}bc}{b+c}+\frac{b^{3}ca}{c+a}+\frac{c^{3}ab}{a+b}$

$=abc(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b})$

$=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}$

 

Áp dụng BĐT 3 ta có:

$E\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+b+c+c+a}=\frac{a+b+c}{2}$

 

Áp dụng BĐT 2 

$E\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$

 

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

 

d= 10

S = 45 + 10 +5 = 60


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:20

                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#12 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 09-05-2014 - 20:51

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Bài dự thi trận $9$ $MSS 27$

Đề bài cho ta $xyz=1 \Leftrightarrow x^2y^2z^2=1$

 

Từ đó, Áp dụng bất đẳng thức $BCS$ dạng Engel và bđt $AM-GM$, ta có

 

$\sum \frac{1}{z^3(y+z)}= \sum \frac{x^2y^2z^2}{x^3(y+z)}= \sum \frac{y^2z^2}{x(y+z)} \geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)}= \frac{xy+yz+zx}{2} \geq  \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}= \frac{3}{2}$

 

Dấu đẳng thức $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x=y=z;xyz=1\\ \dfrac{xy}{z(x+y)}=\dfrac{yz}{x(y+z)}=\dfrac{xz} {y(x+z)}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

d = 10

S = 44 + 5 + 20 = 69 (số đẹp gớm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:19

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#13 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 09-05-2014 - 21:04

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

 

Cách $2$ của $MSS 27$:

 

Áp dụng bđt $AM-GM$, ta được:

 

$\frac{1}{x^3(y+z)}=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{x(y+z)}{4}-\frac{x(y+z)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{x^3(y+z)}.\frac{x(y+z)}{4}}-\frac{xy+xz}{4}=x^2-\frac{xy+xz}{4}$
 
$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^3(y+z)}\geq \sum x^2-\frac{xy+xz+yz}{2}$
 
Từ $(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \geq 0$ ( Dấu $= \Leftrightarrow x=y=z$)
 
$\Rightarrow \sum x^{2}\geq \sum xy\Rightarrow -\sum xy\geq -\sum x^{2}$
 
$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^3(y+z)}\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}\geq \frac{(x+y+z)^2}{6}\geq \frac{\left ( 3\sqrt[3]{xyz} \right )^2}{6}=\frac{3}{2}$
 
Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#14 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 09-05-2014 - 21:11

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

 

Cách $1$ của $MSS 27$ dự thi trận $9$

 

Đề bài cho ta $xyz=1 \Rightarrow x^2y^2z^2=1$

 

Từ đó, áp dụng bđt $BCS$ dạng $Engel$ và bđt $AM-GM$

 

$\sum \frac{1}{x^3(y+z)}=\frac{x^2y^2z^2}{x^3(y+z)}=\sum \frac{y^2z^2}{xy+xz}\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)}=\frac{xy+yz+zx}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xyz=1\\ x=y=z\\ \dfrac{xy}{z(x+y)}=\dfrac{yz}{x(y+z)}=\dfrac{zx}{y(z+x)}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1$


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#15 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 09-05-2014 - 21:15

MSS 52: 

 

Cách 2

 

$xyz=1\Rightarrow x=\frac{1}{yz};y=\frac{1}{zx};z=\frac{1}{xy}$

 

Thay vào E : 

 

$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}=\frac{y^{2}z^{2}}{x(y+z)}+\frac{x^{2}z^{2}}{y(z+x)}+\frac{x^{2}y^{2}}{z(x+y)}$

 

Áp dụng BĐT 3 đã CM ở cách 1: 

 

$E\geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{2(xy+yz+zx)}=\frac{xy+yz+zx}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}}{2}=\frac{3}{2}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

 

 


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#16 firetiger05

firetiger05

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Văn Trỗi - Thanh Hóa
  • Sở thích:Đánh Games:(LOL là chính).Đọc One Piece(Trở thành vua hải tặc)
    Toán Học:any peer expressions,extreme,test material.

Đã gửi 09-05-2014 - 21:25

Em không phải toán thủ MSS. :D

 

Áp dụng BĐT Svac ta có: E = $\sum \frac{(\frac{1}{x})^{2}}{xy+xz}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}{2(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3}{2}$( Cô si 3 số và xyz =1)

Dấu = xảy ra <=> x=y=z=1


:ukliam2: Học! :ukliam2: Học nữa! :ukliam2: Học mãi :off: :off:
:icon12: :ukliam2: Yêu Toán **==Nồng Cháy :ukliam2: :icon12:
:oto:  :oto: Quyết đậu chuyên Tin   Lam :icon12: Sơn    :oto:  :oto:


#17 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 09-05-2014 - 21:25

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow abc=1$ vì $xyz=1$

Điều kiện : $a,b,c>0$

Ta có : $E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}=\frac{1}{\frac{1}{a^3}\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}+\frac{1}{\frac{1}{c^3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )}+\frac{1}{\frac{1}{b^3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right )}=\frac{a^{3}bc}{b+c}+\frac{b^{3}ac}{a+c}+\frac{c^{3}ab}{a+b}=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=a+b+c$

Theo BĐT Schwarz

mà $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (Theo BĐT AM-GM)

Vậy $min E=3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c\\ abc=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=1\Rightarrow x=y=z=1$

 

d = 9.5

S = 45


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:21

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#18 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 09-05-2014 - 21:26

MSS 52:

 

Cách 3: 

 

$xyz=1\Rightarrow x=\frac{1}{yz};y=\frac{1}{zx};z=\frac{1}{xy}$

 

Thay vào E : 

 

$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

 

$=\frac{yz}{x^{2}(y+z)}+\frac{zx}{y^{2}(z+x)}+\frac{xy}{z^{2}(x+y)}$

 

Áp dụng BĐT 2 đã chứng minh ở cách 1: 

 

$\frac{yz}{x^{2}(y+z)}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}=\frac{yz}{x^{2}(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}\geq 2\sqrt{\frac{yz}{x^{2}(y+z)}.\frac{y+z}{4yz}}=\frac{1}{x}$

 

Thiết lập tương tự 

 

$\frac{zx}{y^{2}(z+x)}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4x}\geq \frac{1}{y}$

 

$\frac{xy}{z^{2}(x+y)}+\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}\geq \frac{1}{z}$

 

Cộng 3 vế BĐT trên ta có :

 

$E\geq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-\frac{2}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{3}{2}.\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=\frac{3}{2}$


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#19 letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\sqrt{MF}$
  • Sở thích:$Maths$

Đã gửi 09-05-2014 - 21:43

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Bài làm :
Áp dụng BĐT AM-GM ta có :
$\frac{1}{x^{3}(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}=\frac{xyz}{x^{3}(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}=\frac{yz}{x^{2}(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}\geq \frac{1}{x}\Rightarrow \frac{1}{x^{3}(y+z)}\geq \frac{1}{x}-\frac{1}{4y}-\frac{1}{4z}$
Chứng minh tương tự ta có :
$\frac{1}{y^3(x+z)}\geq \frac{1}{y}-\frac{1}{4x}-\frac{1}{4z};\frac{1}{z^3(x+y)}\geq \frac{1}{z}-\frac{1}{4x}-\frac{1}{4y}$
Cộng tất cả vế theo vế :
$\Rightarrow E\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=\frac{3}{2}$
Vậy :
$E_{\min}=\frac{3}{2}$
Dấu $"="$ xảy ra : $\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

S = 45


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:22

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#20 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 09-05-2014 - 21:44

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Mở rộng của $MSS 27$

 

Cho $a_{1};a_{2};,,,; a_{n}$ với mọi $n \in N, n \geq 3$ và $a_1.a_2....a_n=1$

 

Tìm min của biểu thức:

 

$E=\sum \dfrac{1}{a_1^3[\sum(\prod_{2}^{n}a)}]$

 

Giải:

 

$E=\sum \frac{(a_2.a_3...a_n)^2}{a_1[\sum \left ( \prod_{2}^{n}a \right )]}\geq \frac{(\sum a_2.a_3...a_n)^2}{n(\sum a_2.a_3...a_n)}=\frac{\sum a_2.a_2...a_n}{n} \geq \frac{n\sqrt[n]{(a_1.a_2...a_n)^{n-1}}}{n}=\frac{1}{n}$

 

Vậy $E_{Min}=\frac{1}{n}$

 

$\Leftrightarrow a_1=a_2=...=a_n=1$


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh