Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 9 - Bất đẳng thức

mss 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 61 trả lời

#21 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-05-2014 - 21:56

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Bài làm của MSS 10

Bổ đề 1: Với mọi số thực $a, b, c, x, y, z$ $(x, y, z>0)$ ta luôn có:

$$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$$

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh với mọi số thực $m, n, p, q$ $(p, q>0)$ ta có

$$\dfrac{m^2}{p}+\dfrac{n^2}{q}\geq \dfrac{(m+n)^2}{p+q} \ \ \ \ (\star)$$

Thật vậy bất đẳng thức $(\star)$ tương đương với $\dfrac{(mq-np)^2}{pq(p+q)}\geq 0$ $($Luôn đúng vì $p, q>0)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{m}{p}=\dfrac{n}{q}$

Áp dụng bất đẳng thức $(\star),$ ta có

$$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\geq \dfrac{(a+b)^2}{x+y}+\dfrac{c^2}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$$

Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}$

 

Bổ đề 2: Với mọi số dương $a, b, c$ ta có

$$a^3+b^3+c^3\geq 3abc$$

Chứng minh

Bất đẳng thức đã cho tương đương với $\dfrac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\geq 0$ (Luôn đúng với $a,b,c >0)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c.$

 

Quay lại bài toán

Đặt $x=\dfrac{1}{a}, y=\dfrac{1}{b}, z=\dfrac{1}{c}$ $(a,b,c>0)$

 

Vì $xyz=1$ nên $abc=1$

 

Khi đó $$\textrm{E}=\dfrac{a^3bc}{b+c}+\dfrac{ab^3c}{c+a}+\dfrac{abc^3}{a+b}=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}$$

Áp dụng bổ đề 1, ta có: $$\textrm{E}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}$$

Áp dụng bổ đề 2, ta có: $$\textrm{E}=\dfrac{a+b+c}{2}\geq\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\dfrac{3}{2}$$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1 \Leftrightarrow x=y=z=1$

 

Vậy $\textrm{min}\ \textrm{E}=\dfrac{3}{2}$ khi $x=y=z=1.$

 

d = 10

S = 56


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:23


#22 Kaito Kuroba

Kaito Kuroba

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 656 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HCM
  • Sở thích:$...$

Đã gửi 09-05-2014 - 22:07

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

 

đặt:$$\left\{\begin{matrix}
a=\frac{1}{x} & \\
b=\frac{1}{y}& \\
c=\frac{1}{z}&
\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1$$

 

$$\Rightarrow E=\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$$

 

$$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$$

 

d = 10

S = 46


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:23


#23 tranducmanh2308

tranducmanh2308

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A2k43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:xem phim,chơi bóng rổ, làm toán và lên FACE

Đã gửi 09-05-2014 - 22:44

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

MSS 34 

Ta có

$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}=\frac{xyz}{x^3(y+z)}+\frac{xyz}{y^3(z+x)}+\frac{xyz}{z^3(x+y)}=\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}+\frac{\frac{1}{z^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

(do $xyz=1$)

đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$(với $a,b,c> 0;abc=1$)

Khi đó áp dụng bất đẳng thức svac-xơ và cô si cho các số dương vào biểu thức $E$

$E=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}= \frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$

(do $abc=1$)

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c & \\ abc=1 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=z & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow x=y=z=1$

Vậy E min= $\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

d = 10

S = 41


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:16

:wub: >:) :wub: :ukliam2: :ukliam2: :ukliam2:ĐÚNG THÌ LIKE :botay :like :botay SAI THÌ SỬA (SAI VẪN LIKE) :ph34r: @};- :ninja: :)) :blink: :P@@@


#24 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-05-2014 - 23:10

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Mở rộng 1 của MSS 10

Cho số nguyên dương $n$ và các số dương $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện $xyz=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$\textrm{A}=\dfrac{1}{x^{n+1}(y+z)}+\dfrac{1}{y^{n+1}(z+x)}+\dfrac{1}{z^{n+1}(x+y)}$$

 

Bài làm

 

Bổ đề 1: $($đã chứng minh$)$ Với mọi số thực $a, b, c, x, y, z$ $(x, y, z>0)$ ta luôn có:

$$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}+\dfrac{c^2}{z}\geq \dfrac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$$

 

Bồ đề 2: $($đã chứng minh$)$ Với mọi số dương $a, b, c,$ ta có

$$a^3+b^3+c^3\geq 3abc$$

 

Bổ đề 3: Với mọi số nguyên dương $n$ và các số dương $a, b, c,$ ta có

$$\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b}\geq \dfrac{a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}}{2}$$

Chứng minh

Theo bổ đề 1 ta có $$\sum \dfrac{a^n}{b+c}=\sum \dfrac{a^{2(n-1)}}{a^{n-2}(b+c)}\geq \dfrac{(a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})^2}{\sum a^{n-2}(b+c)}$$

Đặt $n-2=k.$

Như vậy cần chứng minh $$\dfrac{a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}}{\sum a^{n-2}(b+c)}\geq \dfrac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{a^{k+1}+b^{k+1}+c^{k+1}}{\sum a^{k}(b+c)}\geq \dfrac{1}{2}$$

$$\Leftrightarrow 2(a^{k+1}+b^{k+1}+c^{k+1})\geq \sum a^{k}(b+c)$$

$$\Leftrightarrow (a^k-b^k)(a-b)+(a^k-c^k)(a-c)+(b^k-c^k)(b-c)\geq 0$$

Nếu $b\geq c>0$ thì $b^k-c^k\geq 0$ và $b-c\geq 0,$ suy ra $(b^k-c^k)(b-c)\geq 0$

 

Nếu $c\geq b>0$ thì $b^k-c^k\leq 0$ và $b-c\leq 0,$ suy ra $(b^k-c^k)(b-c)\geq 0$

 

Vậy $(b^k-c^k)(b-c)\geq 0$ với mọi $b, c>0$

 

Không mất tổng quát giả sử $a=\textrm{max}\left \{ a;\ b;\ c \right \}$

 

Suy ra $(a^k-b^k)(a-b)\geq 0$ và $(a^k-c^k)(a-c)\geq 0.$

 

Do đó $(a^k-b^k)(a-b)+(a^k-c^k)(a-c)+(b^k-c^k)(b-c)\geq 0$

 

Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c.$

 

Quay lại bài toán

Đặt $x=\dfrac{1}{a}, y=\dfrac{1}{b}, z=\dfrac{1}{c}$ $(a,b,c>0)$

 

Vì $xyz=1$ nên $abc=1$

 

Khi đó $$\textrm{A}=\dfrac{a^{n+1}bc}{b+c}+\dfrac{ab^{n+1}c}{c+a}+\dfrac{abc^{n+1}}{a+b}=\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b}$$

Áp dụng bổ đề 3, ta có $$\textrm{A}\geq \dfrac{a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}}{2}$$

Áp dụng bổ đề 2, ta có $$\textrm{A}\geq \dfrac{3\sqrt[3]{a^{n-1}.b^{n-1}.c^{n-1}}}{2}=\dfrac{3}{2}$$

Vậy $\textrm{min}\ \textrm{A}=\dfrac{3}{2}$ khi $a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=1.$



#25 Scor Pio

Scor Pio

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Ninh
  • Sở thích:cuồng rubic

Đã gửi 10-05-2014 - 08:39

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 09/05/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

I - Bạn cần biết:

1) Điều lệ giải đấu

2) Lịch thi đấu và tổng hợp kết qủa

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.


Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 
Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

3) Thành viên diễn đàn không đăng kí thi đấu vẫn có thể giải bài, nhưng phải ghi rõ là: Mình không phải là toán thủ thi đấu

 

4) Sau trận 9, sẽ có 08 toán thủ ít điểm nhất bị loại. 

 



#26 nguyenhuynhdanglong

nguyenhuynhdanglong

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đam mê toán học từ năm lên 8. Thích học : bất đẳng thức,hình học,tổ hợp số và hình, hệ phương trình,..... Nói chung tất cả về toán em đều thích vì nó có mỗi cái hay riêng :D

Đã gửi 10-05-2014 - 13:38

$E = \sum {\frac{1}{{{x^3}(y+z)}}} = \sum {\frac{{{{(yz)}^2}}}{{x(y+z)}} \ge } \frac{{xy+yz+z{\rm{x}}}}{2} \ge \frac{3}{2}$

$Min{\rm{E}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow x=y=z=1$
 

 

________________

WTF ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:24


#27 nguyentrungphuc26041999

nguyentrungphuc26041999

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 406 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT Phan Bội Châu
  • Sở thích:bóng đá, làm toán, chơi game,đủ trò

Đã gửi 10-05-2014 - 15:03

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức,ta có

$E=\sum \frac{\frac{1}{x^{2}}}{xy+xz}\geq \frac{\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )^{2}}{2\left ( xy+yz+zx \right )}=\frac{xy+yz+zx}{2}$

áp dụng bất đẳng thức Cô-si 

$\frac{xy+yz+xz}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}}}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $E=\frac{3}{2}$ đạt được khi $a=b=c=1$

 

$d = 10$

$S = 41$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:24


#28 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 10-05-2014 - 20:08

Phuong Thu Quoc không phải là toán thủ thi đấu

AD BĐT Schwarz ta có $\frac{1}{x^{3}\left ( y+z \right )}+\frac{1}{y^{3}\left ( z+x \right )}+\frac{1}{z^{3}\left ( x+y \right )}=\frac{\frac{1}{x^{2}}}{x\left ( y+z \right )}+\frac{\frac{1}{y^{2}}}{y\left ( x+z \right )}+\frac{\frac{1}{z^{2}}}{z\left ( x+y \right )}\geq \frac{\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )^{2}}{2\left ( xy+yz+zx \right )}$

Từ dữ kiện $xyz=1\Rightarrow E\geq \frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{2\left ( xy+yz+zx \right )}=\frac{xy+yz+zx}{2}$

Theo AM-GM ta lại có $xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{\left ( xyz \right )^{2}}=3$

Từ đó $E\geq \frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra khi 3 biến bằng nhau và bằng 1.


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#29 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1450 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 10-05-2014 - 20:36

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Lời giải:

Ta có:

$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

$=\frac{1}{x^2(xy+xz)}+\frac{1}{y^2(yz+xy)}+\frac{1}{z^2(zx+yz)}$

$=\frac{y^2z^2}{x^2y^2z^2(xy+xz)}+\frac{x^2z^2}{x^2y^2z^2(yz+xy)}+\frac{x^2y^2}{(xz+yz)}$

Mà $xyz=1$$\Leftrightarrow x^2y^2z^2=1$

$\Rightarrow E= \frac{y^2z^2}{xy+zx}+\frac{x^2z^2}{yz+xy}+\frac{x^2y^2}{zx+yz}$

Áp dụng BĐT S-vác ta có:

$E\geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)}= \frac{xy+yz+zx}{2}$

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có

$xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}= 3$ (do $x^2y^2z^2=1$)

$\Rightarrow E\geq \frac{3}{2}$

Vậy Min $P=\frac{3}{2}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Mình không phải toán thủ thi đấu

 

WTF ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:27

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#30 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 10-05-2014 - 21:47

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Mở rộng của $MSS 27$ ( Lấy mở rộng này thay cho mở rộng trước)

 

Cho $a_1;a_2;a_3;...;a_n$ với $n \in N, n \geq 3$ và $a_1.a_2.a_3...a_n=1$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$E=\sum \frac{1}{a_1^3\sum [\prod_{2}^{n-1}]a}$

 

Giải:

 

Sử dụng bđt BCS dạng Engel, ta được:

 

$E=\sum \frac{1}{a_1^3\sum [\prod_{2}^{n-1}]a}=\sum \frac{(a_2.a_3...a_n)^2}{a_1[\sum (\prod_{2}^{n-1}a)]}\geq \frac{(\sum a_2.a_3...a_n)^2}{(n-1)(\sum a_2.a_3...a_n)}=\frac{\sum a_2.a_3...a_n}{n-1}\geq \frac{n\sqrt[n]{(a_1.a_2...a_n)^{n-1}}}{n-1}=\frac{n}{n-1}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=a_3=...=a_n=1$


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#31 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 10-05-2014 - 22:44

Mở rộng $2$ của $MSS 27$

 

Cho các số thực dương $x;y;z$ thỏa $xyz=1$ và $k \in N^*$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$E=\sum \frac{1}{x^{3k}(z^k+y^k)}$

 

Giải:

 

Áp dụng bđt BCS dạng Engel, ta được:

 

$E=\sum \frac{1}{x^{3k}(y^k+z^k)}=\frac{(x^ky^kz^k)^2}{x^{3k}(y^k+z^k)}=\sum \frac{(y^kz^k)}{x^k(y^k+z^k)}\geq \frac{\sum (y^kz^k)^2}{2(\sum y^kz^k)}=\frac{\sum y^kz^k}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^{2k}y^{2k}z^{2k}}}{2}=\frac{3}{2}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

 


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#32 thaothuyetminh

thaothuyetminh

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:MBC

Đã gửi 10-05-2014 - 22:59

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Mình không phải là toán thủ thi đấu

$E=$\frac{1}{x^{3}.\left ( y+z \right )} + \frac{1}{y^{3}.\left ( z+x \right )} + \frac{1}{z^{3}.\left ( x+y \right )} = \frac{\left ( xyz \right )^{2}}{x^{3}.\left ( y+z \right )} + \frac{\left ( xyz \right )^{2}}{y^{3}.\left ( z+x \right )} +\frac{\left ( xyz \right )^{2}}{z^{3}.\left ( x+y \right )} = \frac{\left ( yz \right )^{2}}{x.\left ( y+z \right )} + \frac{\left ( zx \right )^{2}}{y.\left ( z+x \right )} + \frac{\left ( xy \right )^{2}}{z.\left ( x+y \right )}$

Đến đây

C1: $\geq \frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}}{2\left ( xy+yz+zx \right )} = \frac{xy+ yz + czx}{2} < Schwarz>   \geq \frac{3}{2}$

$dấu "=" <=> x=y=z=\frac{2}{3} Vậy Min E= \frac{3}{2}$

 

C2: $AM-GM: \frac{\left ( yz \right )^{2}}{x\left ( y+z \right )} + \frac{x\left ( y+z \right )}{4} \geq yz      Tương  tự  với  2  ý  còn  lại => E \geq \left ( xy+yz+zx \right ) - \frac{xy+yz+zx}{2} = \frac{xy+yz+zx}{2} \geq \frac{3}{2}$ 

$dấu "=" <=> x=y=z=\frac{2}{3} Vậy  Min  E = \frac{3}{2}$

 

 

C3: Đặt x=ab ; y=bc ; z=ca  => $x^{2}y^{2}z^{2} = 1$

Thay vào trên

=> E = $\frac{a^{2}}{b+c} + \frac{b^{2}}{c+a} + \frac{c^{2}}{a+b}$  $\geq \frac{3}{2}$ <BĐT Nesbit>

$dấu "=" <=> x=y=z=\frac{2}{3}  Vậy  Min  E = \frac{3}{2}$

 

 

* Mở rộng: xyz = 1  => $xyz^{n} = 1$ đi với nhau như ở E

Nên ta có bài toán:

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1

Tìm Min: A =  $\frac{1}{x^{n}.\left ( y+z \right )} + \frac{1}{y^{n}.\left ( z+x \right )} + \frac{1}{z^{n}.\left ( x+y \right )}$



#33 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 10-05-2014 - 23:00

Từ mở rộng $2$ ta có ngay mở rộng $3$ $(MSS 27)$

 

Cho các số $a_1;a_2;a_3;...;a_n$ thực dương, thỏa $a_1.a_2.a_3...a_n=1$, $k \in N^*$; $n \geq 3, n \in N$

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

$\sum \frac{1}{a_1^{3k}[\sum (\prod_{2}^{n-1}a^k)]}$

 

Giải:

 

$\sum \frac{1}{a_1^{3k}[\sum (\prod_{2}^{n-1}a^k)]}=\sum \frac{(a_2^k.a_3^k...a_n^k)^{2}}{a_1^{k}[\sum (\prod_{2}^{n-1}a^k)]}=\sum \frac{(a_2^k.a_3^k...a_n^k)^2}{a_1^k[\sum (\prod_{2}^{n-1}a^k)]}\geq \frac{(\sum a_2^k.a_3^k...a_n^k)^2}{(n-1)(\sum a_2^k.a_3^k...a_n^k)}=\frac{\sum a_2^k.a_3^k...a_n^k}{n-1}\geq\frac{n\sqrt[n]{a_1^{2k}.a_2^{2k}...a_3^{2k}}}{n-1}=\frac{n}{n-1}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=a_3=...=a_n=1$


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#34 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 11-05-2014 - 08:36

MSS47: Trương Việt Hoàng

 

 

 

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Cách 1 em đã trình bày ở bên trên

Cách 2:

Đặt $x=a>0;y=b>0;z=c>0\Rightarrow abc=1$

Áp dụng BĐT BCS ta có:

$$\left [ \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)} \right ]\left [ a(b+c)+b(c+a)+c(a+b) \right ]$$

$$\geq \left [ \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^3(b+c)}}+\sqrt{\frac{b(c+a)}{b^3(c+a)}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{c^3(a+b)}} \right ]^2$$

$$=\left ( \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right )^2$$

$$=\left ( \frac{ab+bc+ca}{abc} \right )^2=(ab+bc+ca)^2$$ (Do $abc=1$)

$$\Rightarrow E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$$
$$\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}$$
$$=\frac{ab+bc+ca}{2}$$

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
$$E\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}$$

(Do $abc=1$)

Dấu = có khi: $a=b=c=1$

 

P/s: Do gõ nhầm nên em đặt $x=a;y=b;z=c$ ạ, Mọi người đừng bảo em điên.

 

d = 9

S = 45 + 10 + 20 = 74


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:12


#35 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 11-05-2014 - 19:44

Mở rộng 1: Cho $xyz=1;x,y,z>0$

Tìm giá trị nhỏ nhất của : $P=\frac{1}{x^{3k}\left ( y^k+z^k \right )}+\frac{1}{y^{3k}\left ( x^k+z^k \right )}+\frac{1}{z^{3k}\left ( y^k+x^k \right )}$ với $k$ là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1

Bài giải :

Vì $x,y,z>0$, đặt : $x^k=\frac{1}{a},y^k=\frac{1}{b},z^k=\frac{1}{c}\Rightarrow x^{3k}=\frac{1}{a^3},y^{3k}=\frac{1}{b^3},z^{3k}=\frac{1}{c^3}$ với $a,b,c>0$

mà $xyz=1\Rightarrow abc=1$

Thay vào BĐT ,ta có BĐT mới là

$P=\frac{a^3bc}{b+c}+\frac{b^3ac}{a+c}+\frac{c^3ab}{a+b}=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$

Áp dụng BĐT Scharw và BĐT AM-GM

Vậy $minP=3$ khi $a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=1$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#36 phuocdinh1999

phuocdinh1999

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Nam

Đã gửi 11-05-2014 - 20:28

$SBD:\boxed{MSS48}$                     $\boxed{MỞ RỘNG}$

 

MỞ RỘNG 1: Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$A=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(x+z)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$

 

 

Lời giải: Ta có BĐT sau:

 $\frac{1}{x^3(3-x)}\geq \frac{-5x+7}{4}\Leftrightarrow (x-1)^2\left [ 4x^2(x-3)+x(x^2-9)+(x-3)-1 \right ]\leq 0$ (đúng vì $x<3$)

Do đó $\frac{1}{x^3(y+z)}\geq \frac{-5x+7}{4}$

Lập 2 BĐT tương tự, ta được $A\geq \frac{-5(x+y+z)+21}{4}=\frac{3}{2}$

Vậy $MinA=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$

 

MỞ RỘNG 2: Cho $n$ số  $x_1,x_2,...,x_n>0$ thoả mãn $x_1.x_2...x_n=1$. Tìm GTNN của

$B=\frac{1}{x_1^3(x_2+x_3)}+\frac{1}{x_2^3(x_3+x_4)}+...+\frac{1}{x_n^3(x_1+x_2)}$

 

 

Lời giải: Đặt $a_i=\frac{1}{x_i}$ với $i=1,2...,n$

Áp dụng BĐT CBS: 

$B=\frac{a_1^2}{a_2+a_3}+\frac{a_2^2}{a_3+a_4}+...+\frac{a_n^2}{a_1+a_2}\geq \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{2(a_1+a_2+...+a_n)}=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{2}$

 

Lại áp dụng AM-GM: $x_1+x_2+...+x_n\geq n\sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}=n$

Do đó $B\geq \frac{n}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x_1=x_2=...=x_n=1$, từ đó ta có $MinB=\frac{n}{2}$

 

 



#37 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 11-05-2014 - 21:24

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

MSS 47: Trương Việt Hoàng

 

$$\boxed{\textrm{Mở rộng}}$$
Đề bài:

 

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^{\sqrt{(k-1)^3}}(y^{\sqrt{k-1}}+z^{\sqrt{k-1}})}+\frac{1}{y^{\sqrt{(k-1)^3}}(z^{\sqrt{k-1}}+x^{\sqrt{k-1}})}+\frac{1}{z^{\sqrt{(k-1)^3}}(x^{\sqrt{k-1}}+y^{\sqrt{k-1}})}.$$

 

Lời giải:

$$E=\frac{1}{x^{\sqrt{(k-1)^3}}(y^{\sqrt{k-1}}+z^{\sqrt{k-1}})}+\frac{1}{y^{\sqrt{(k-1)^3}}(z^{\sqrt{k-1}}+x^{\sqrt{k-1}})}+\frac{1}{z^{\sqrt{(k-1)^3}}(x^{\sqrt{k-1}}+y^{\sqrt{k-1}})}$$
$$=\frac{x^{k-1}.y^{k-1}.z^{k-1}}{x^{\sqrt{(k-1)^3}}(y+z)}+\frac{x^{k-1}.y^{k-1}.z^{k-1}}{y^{\sqrt{(k-1)^3}}(z+x)}+\frac{x^{k-1}.y^{k-1}.z^{k-1}}{z^{\sqrt{(k-1)^3}}(x+y)}$$
$$=\frac{y^{k-1}.z^{k-1}}{x^{\sqrt{k-1}}(y+z)}+\frac{z^{k-1}.x^{k-1}}{y^{\sqrt{k-1}}(z+x)}+\frac{x^{k-1}.y^{k-1}}{z^{\sqrt{k-1}}(x+y)}$$

Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu có:
$$E\geq \frac{(y^{\sqrt{k-1}}.z^{\sqrt{k-1}}+z^{\sqrt{k-1}}.x^{\sqrt{k-1}}+x^{\sqrt{k-1}}.y^{\sqrt{k-1}})^2}{2[y^{\sqrt{k-1}}.z^{\sqrt{k-1}}+z^{\sqrt{k-1}}.x^{\sqrt{k-1}}+x^{\sqrt{k-1}}.y^{\sqrt{k-1}}]}$$
$$=\frac{y^{\sqrt{k-1}}.z^{\sqrt{k-1}}+z^{\sqrt{k-1}}.x^{\sqrt{k-1}}+x^{\sqrt{k-1}}.y^{\sqrt{k-1}}}{2}$$

Áp dụng BĐT AM-GM có:
$$E\geq \frac{3\sqrt[3]{x^{k-1}.y^{k-1}.z^{k-1}}}{2}=\frac{3}{2}$$

 

P/s: Không biết có được dùng kí hiệu $\sum$ không nhỉ?



#38 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 11-05-2014 - 21:54

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

 

MSS 47: Trương Việt Hoàng

 

Ở bên trên em đã làm cách 1 và cách 2.

 

Cách 3:

 

Thay $xyz=1$ vào biểu thức ta có:

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}$$

$$=\frac{xyz}{x^3(y+z)}+\frac{xyz}{y^3(z+x)}+\frac{xyz}{z^3(x+y)}$$

$$=\frac{yz}{x^2(y+z)}+\frac{zx}{y^2(z+x)}+\frac{xy}{z^2(x+y)}$$

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương ta có:
$$\frac{yz}{x^2(y+z)}+\frac{y+z}{4yz}\geq \frac{1}{x}$$

$$\Leftrightarrow \frac{yz}{x^2(y+z)}+\frac{1}{4z}+\frac{1}{4y}\geq \frac{1}{x}$$

Chứng minh tương tự cho 2 BĐT hoán vị rồi cộng lại ta có:

$$\frac{yz}{x^2(y+z)}+\frac{zx}{y^2(z+x)}+\frac{xy}{z^2(x+y)}+\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$$

$$\Leftrightarrow E=\frac{yz}{x^2(y+z)}+\frac{zx}{y^2(z+x)}+\frac{xy}{z^2(x+y)}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$$

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số dương ta có:

$$E\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=\frac{3}{2}$$

 

Cách 4:

 

 

Đặt $$a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$$

$$\Rightarrow abc=\frac{1}{xyz}=1$$

$$\Rightarrow x+y=c(a+b);y+z=a(b+c);z+x=b(c+a)$$

$$\Rightarrow E=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$$
Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu ta có:

$$E=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}$$
$$\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$$E=\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$$

(Do $abc=1$)

 

P/s:Cách trình bày này có vẻ đẹp hơn nhỉ :)



#39 lethanhson2703

lethanhson2703

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 292 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Trường THCS Sông Lô, Sông Lô, Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Math!!

Đã gửi 11-05-2014 - 22:45

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Bài làm của : MSS 57

  • Chứng minh bất đẳng thức cộng mẫu cô si: Cho 2n số  $a_{i}(i=\overline{1,n});b_{i}(i=\overline{1,n});$. Khi đó ta có : $\sum \frac{a_{i}^{2}}{b_{i}}\geq \frac{(\sum a_{i})^{2}}{\sum b_{i}}$. Thật vậy: Vi  $(\sum a_{i})^{2}=\left ( \sum \frac{a_{i}}{\sqrt{b_{i}}}.\sqrt{b_{i}} \right )\leq \sum \frac{a_{i}^{2}}{b_{i}}.\sum b_{i}(Bunhiacopxki)\Leftrightarrow   \sum \frac{a_{i}^{2}}{b_{i}}\geq \frac{(\sum a_{i})^{2}}{\sum b_{i}}$ (Q.E.D) . $''='' xr \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}}=...=\frac{a_{n}}{b_{n}} $
  • Ta có : $E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$ $\Leftrightarrow E=\frac{xyz}{x^{3}(y+z)}+\frac{xyz}{y^{3}(x+z)}+\frac{xyz}{z^{3}(y+x)}$ ( Vì $xyz=1$)$\Leftrightarrow E=\frac{(yz)^{2}}{xy+xz}+\frac{(xz)^{2}}{xy+yz}+\frac{(yx)^{2}}{zy+xz}$$\geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{2(xy+yz+zx)}= \frac{xy+yz+zx}{2}$ (Bất đẳng thức cộng mẫu cô si; $xy+yz+zx\neq 0$)

Mà theo BĐT AM-GM thì $xy+yz+zx\geq 3.\sqrt[3]{xy.yz.zx}=3$

Nên $E\geq \frac{xy+yz_zx}{2}\geq \frac{3}{2}$

 

 

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} x=y=z & \\ x.y.z=1& \end{Bmatrix}\Leftrightarrow x=y=z=1$

Vây GTNN của $E=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

$d = 10$

$S = 38 + 20 = 58$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:29


#40 lethanhson2703

lethanhson2703

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 292 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Trường THCS Sông Lô, Sông Lô, Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Math!!

Đã gửi 11-05-2014 - 22:52

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

Mở rộng 1 của toán thủ MSS 57:

Ta cũng có thể tìm GTLN của E bằng cách đặt ẩn phụ

G/s $x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}$. Mà $x.y.z=1\Rightarrow abc=1$

Khi đó: $E=abc(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{b+a})$ Mà theo bất đẳng thức Nébit thì $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{b+a}$$\geq \frac{3}{2}$. Mặt khác $abc=1\Rightarrow E\geq \frac{3}{2}$. Dấu bằng xr $\Leftrightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=1$







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh