Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 9 - Bất đẳng thức

mss 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 61 trả lời

#41 lethanhson2703

lethanhson2703

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 292 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Trường THCS Sông Lô, Sông Lô, Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Math!!

Đã gửi 11-05-2014 - 23:06

Bài mở rộng của MSS 57:

Ta có thể nhận thấy rằng nếu x,y,z dương thì ta có thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức AM-GM

Thật vậy: Ta luôn có $\frac{1}{x^{3}(y+z)}+\frac{x(y+z)}{4}\geq \frac{1}{x}=yz$ (Vì xyz=1)

Tương tự sau khi ta cộng theo vế sẽ có kết quả như sau : $E+\frac{xy+yz+zx}{2}\geq xy+yz+zx\Leftrightarrow E\geq \frac{xy+yz +zx}{2}\geq \frac{3}{2}$

Dấu bằng vẫn xảy ra khi x=y=z=1



#42 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 11-05-2014 - 23:49

MSS 52:

 

Mở rộng:

 

Ta sẽ nâng bậc n của các biến.

 

Cho $x, y, z,n$ là các số dương $(n\geq 2)$thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^n(y+z)}+\frac{1}{y^n(z+x)}+\frac{1}{z^n(x+y)}.$$

 

Lời giải:

 

Bổ đề phụ:

Với $a,b,c,k$ là các số dương, ta luôn có:

$\frac{a^{n}+b^{n}+c^{n}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{n}$

 

Chứng minh : Ta sẽ CM bằng quy nạp:

 

Với $n=1$: $\frac{a+b+c}{3}\geq \frac{a+b+c}{3}$(đúng)

 

Với $n=2$: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{2}\Leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$(đúng theo Cauchy)

....

 

Giả sử BĐT đúng với $n=k$: $\frac{a^{k}+b^{k}+c^{k}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{k}$ (1)

 

Ta sẽ CM bđt đúng với $n=k+1$: $\frac{a^{k+1}+b^{k+1}+c^{k+1}}{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{k+1}$(2)

 

Thật vậy: Nhân 2 vế của (1) với $\frac{a+b+c}{3}$

 

$\frac{(a^{k}+b^{k}+c^{k})(a+b+c)}{9}\geq (\frac{a+b+c}{3})^{k+1}$

 

Để được (2) ta sẽ CM:

$3(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})\geq (a^{n}+b^{n}+c^{n})(a+b+c)$

$\Leftrightarrow 2(a^{n+1}+b^{n+1}+c^{n+1})\geq (a^{n}b+ab^{n})+(b^{n}c+bc^{n})+(c^{n}a+ca^{n})$(*)

 

Mà $a^{n+1}+b^{n+1}\geq a^{n}b+ab^{n}\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+a.b^{n-2}+b^{n-1})\geq 0$(đúng)

Thiết lập 3 bđt tương tự rồi cộng lại ta sẽ được (*)

 

Vậy ta đã có đpcm.

 

 

Trở lại bài toán 

 

Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}(a,b,c> 0)$$\Rightarrow abc=1$

 

$\Rightarrow E=\frac{a^{n}bc}{b+c}+\frac{b^{n}ca}{c+a}+\frac{c^{n}ab}{a+b}$

$=\frac{a^{n-1}}{b+c}+\frac{b^{n-1}}{c+a}+\frac{c^{n-1}}{a+b}$

 

  • $n=2k+1$($k\geq 1$, k nguyên)

$\Rightarrow E=\frac{a^{2k}}{b+c}+\frac{b^{2k}}{c+a}+\frac{c^{2k}}{a+b}$

$\geq \frac{(a^{k}+b^{k}+c^{k})^{2}}{2(a+b+c)}$

 

Áp dụng bổ đề trên:

$a^{k}+b^{k}+c^{k}\geq 3(\frac{a+b+c}{3})^{k}$

 

$E\geq \frac{\frac{9}{3^{2k}}.(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{9}{2.3^{2k}}.(a+b+c)^{2k-1}\geq \frac{(3abc)^{2k-1}.3^{2}}{2.3^{2k}}=\frac{3}{2}$

 

  • $n=2k$($k\geq 1$, k nguyên)

$E=\frac{a^{2k-1}}{b+c}+\frac{b^{2k-1}}{c+a}+\frac{c^{2k-1}}{a+b}=E=\frac{a^{2k}}{ab+ac}+\frac{b^{2k}}{bc+ab}+\frac{c^{2k}}{ca+bc}\geq \frac{(a^{k}+b^{k}+c^{k})^{2}}{2(ab+bc+ca)}$

$\geq \frac{9}{3^{2k}}.\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)}.(a+b+c)^{2k-2}\geq \frac{9}{3^{2k}}.\frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}.(3\sqrt[3]{abc})^{2k-2}=\frac{9}{3^{2k}}.\frac{3}{2}.3^{2k-2}=\frac{3}{2}$

 

Vậy $minE=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=1$

 


                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#43 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 12-05-2014 - 23:44

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#44 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-05-2014 - 08:14

Em nghĩ những bất đẳng thức như cô si 3 số, bunhiacopxki, BCS không có trong chương trình học cấp 2 nên cần phải chứng minh lại ạ.



#45 yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 280 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Văn Trỗi tp Thanh Hóa
  • Sở thích:Toán , Lý thích xem doraemon và conan

Đã gửi 13-05-2014 - 10:40

Mình không phải là toán thủ thi đấu

Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ $\Rightarrow abc=1\Rightarrow x+y=c(a+b);y+z=a(b+c);z+x=b(c+a)\Rightarrow E=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow E\geq \frac{3}{2}$

ĐẲng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow x=y=z=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yeutoan2604: 13-05-2014 - 19:13

:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif


#46 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 13-05-2014 - 10:53

Em nghĩ những bất đẳng thức như cô si 3 số, bunhiacopxki, BCS không có trong chương trình học cấp 2 nên cần phải chứng minh lại ạ.

Sách NCPT đã giới thiệu rồi mà sao phải chứng minh lại?


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#47 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 13-05-2014 - 10:56

Em nghĩ những bất đẳng thức như cô si 3 số, bunhiacopxki, BCS không có trong chương trình học cấp 2 nên cần phải chứng minh lại ạ.

 

Sách NCPT đã giới thiệu rồi mà sao phải chứng minh lại?

Cùng ý kiến, từ trước tới giờ vẫn áp dụng các BĐT này bình thường, (từ năm 2013 cho đến nay)



#48 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 13-05-2014 - 11:02

Cùng ý kiến, từ trước tới giờ vẫn áp dụng các BĐT này bình thường, (từ năm 2013 cho đến nay)

Ý kiến thêm là kí hiệu $\sum$ đã được dùng trong Box THCS lâu nay và em nghĩ có thể sử dụng trong bài thi để đẹp và tiết kiệm diện tích!

 

----------------------------------------------------------------------------------

Từ lớp $7$ tức năm $2011$ và kể cả những năm trước THCS đã có dạy những bđt trên


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#49 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 13-05-2014 - 11:03

Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\Rightarrow abc=1$ vì $xyz=1$

Điều kiện : $a,b,c>0$

Ta có : $E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}=\frac{1}{\frac{1}{a^3}\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )}+\frac{1}{\frac{1}{c^3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )}+\frac{1}{\frac{1}{b^3}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right )}=\frac{a^{3}bc}{b+c}+\frac{b^{3}ac}{a+c}+\frac{c^{3}ab}{a+b}=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a+b+c}=$$a+b+c$

Theo BĐT Schwarz

mà $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ (Theo BĐT AM-GM)

Vậy $min E=3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c\\ abc=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=1\Rightarrow x=y=z=1$

Sai chỗ tô đỏ này phải là $\frac{a+b+c}{2}$


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#50 DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-05-2014 - 11:27

Sách NCPT đã giới thiệu rồi mà sao phải chứng minh lại?

Chương trình cấp 2 là trong sách giáo khoa mà. 



#51 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 13-05-2014 - 11:38

Chương trình cấp 2 là trong sách giáo khoa mà. 

Nếu học theo SGK thì chắc thi cái này không làm được.

MSS có thể coi là chuyên THCS. Các BĐT cơ bản không cần CM.

 

P/s: Nhanh chấm bài đi BTC, đã có tuyển trọng tài chấm và đã chấm nhưng hình như không đúng lắm :P , BTC check lại một vài bài chấm xem. Và chấm xong thì BTC họp với trọng tài là thống kê bảng điểm luôn đi ạ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-05-2014 - 11:49


#52 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 13-05-2014 - 11:39

Trận BĐT lần trước cũng được dùng, k cần c/m.

 

P/S: MSS sắp kết thúc rồi, chỉ còn trận 10 nữa thôi. Em mong sau trận 9 này BTC sẽ lock các trận lại, chấm và thống kê tất cả lại theo từng trận và thông báo luôn toán thủ nào bị loại ở mỗi trận (giồng hai trận đầu tiên đấy ạ -_- ) Thá mất thời gian chấm lâu chứ dây dưa điểm loại chưa rõ ràng đến trận 10 em thấy rất khó theo dõi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 13-05-2014 - 11:49


#53 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 11-06-2014 - 13:55

Đã sơ chấm xong trận này choler.gif Chắc có sót đấy nên các em kiểm tra kĩ lại dùm nhé.
Nói chung cách làm với mở rộng na ná nhau cả nên điểm cộng thêm cho nhiều cách giải với mở rộng tối đa là 10 với 20 thôi nha :closedeyes:
 

Trận BĐT lần trước cũng được dùng, k cần c/m.
 
P/S: MSS sắp kết thúc rồi, chỉ còn trận 10 nữa thôi. Em mong sau trận 9 này BTC sẽ lock các trận lại, chấm và thống kê tất cả lại theo từng trận và thông báo luôn toán thủ nào bị loại ở mỗi trận (giồng hai trận đầu tiên đấy ạ -_- ) Thá mất thời gian chấm lâu chứ dây dưa điểm loại chưa rõ ràng đến trận 10 em thấy rất khó theo dõi.

Thật sự anh cũng muốn như thế lắm em ạ :'(
Nhưng e phải hiểu là chấm bài trên máy tính rất chối, e phải lội từng page để xem bạn này có mở rộng hay có cách giải gì không, mà mỗi bài dài dằng dặc thì lăn lên lăn xuống rất khó chịu...
Chưa kể máy cùi bắp mở nhiều tab để chuyển qua lại cũng ngốn RAM + lag lắm.
Và điều quan trọng nhất.... đó là LƯỜI
Xin lỗi vì anh nói có phần vô trách nhiệm nhưng em hiểu đội ngũ trọng tài MSS vẫn còn là học sinh (có lúc thầy Thế chấm), vẫn còn ham ăn chơi nhảy múa lắm em ạ....
Nói chung "kể khổ" vậy thôi nhưng anh/em/mình sẽ tiếp thu, cố gắng hoàn thành công việc  sure.gif.
(Nói nghe hơi chợ búa tí nhưng thế cho các em dễ hiểu tâm trạng :mellow: )
 
Bonus:

Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 11-06-2014 - 13:58

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#54 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 11-06-2014 - 16:54

đặt:$$\left\{\begin{matrix}
a=\frac{1}{x} & \\
b=\frac{1}{y}& \\
c=\frac{1}{z}&
\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1$$

 

$$\Rightarrow E=\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$$

 

$$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$$

 

d = 10

S = 46

Bạn này không tham gia thi anh ạ !!
Nản, phải tìm cách giải quyết

P/s: Không thi thì ghi "Mình không phải toán thủ thi đấu"
và ghi lên đầu không phải cuối

- Làm bài phải ghi SBD


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 12-06-2014 - 06:16


#55 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1450 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 11-06-2014 - 17:39

Bonus:

Spoiler

Cám ơn anh Black đã cho em một tràng cười sảng khoái :))


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#56 angleofdarkness

angleofdarkness

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 246 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:K48 chuyên toán - THPT chuyên ĐHSP Hà Nội.

Đã gửi 11-06-2014 - 21:18

Đã sơ chấm xong trận này choler.gif Chắc có sót đấy nên các em kiểm tra kĩ lại dùm nhé.
Nói chung cách làm với mở rộng na ná nhau cả nên điểm cộng thêm cho nhiều cách giải với mở rộng tối đa là 10 với 20 thôi nha :closedeyes:
 

Thật sự anh cũng muốn như thế lắm em ạ :'(
Nhưng e phải hiểu là chấm bài trên máy tính rất chối, e phải lội từng page để xem bạn này có mở rộng hay có cách giải gì không, mà mỗi bài dài dằng dặc thì lăn lên lăn xuống rất khó chịu...
Chưa kể máy cùi bắp mở nhiều tab để chuyển qua lại cũng ngốn RAM + lag lắm.
Và điều quan trọng nhất.... đó là LƯỜI
Xin lỗi vì anh nói có phần vô trách nhiệm nhưng em hiểu đội ngũ trọng tài MSS vẫn còn là học sinh (có lúc thầy Thế chấm), vẫn còn ham ăn chơi nhảy múa lắm em ạ....
Nói chung "kể khổ" vậy thôi nhưng anh/em/mình sẽ tiếp thu, cố gắng hoàn thành công việc  sure.gif.
(Nói nghe hơi chợ búa tí nhưng thế cho các em dễ hiểu tâm trạng :mellow: )
 
Bonus:

Spoiler

 

Điểm của em ở đâu vậy anh :D



#57 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-06-2014 - 16:37

 

 

Bài dự thi trận $9$ $MSS 27$

Đề bài cho ta $xyz=1 \Leftrightarrow x^2y^2z^2=1$

 

Từ đó, Áp dụng bất đẳng thức $BCS$ dạng Engel và bđt $AM-GM$, ta có

 

$\sum \frac{1}{z^3(y+z)}= \sum \frac{x^2y^2z^2}{x^3(y+z)}= \sum \frac{y^2z^2}{x(y+z)} \geq \frac{(xy+yz+zx)^2}{2(xy+yz+zx)}= \frac{xy+yz+zx}{2} \geq  \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}= \frac{3}{2}$

 

Dấu đẳng thức $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x=y=z;xyz=1\\ \dfrac{xy}{z(x+y)}=\dfrac{yz}{x(y+z)}=\dfrac{xz} {y(x+z)}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1$

 

d = 10

S = 44 + 5 + 20 = 69 (số đẹp gớm)

 

 

Mấy trận sau này " MỞ RỘNG" không chấm ạ?

 

(69 này là có điểm mở rộng & cách 2 chưa anh :D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 12-06-2014 - 16:39

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#58 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 13-06-2014 - 10:59

 

 
 

 

Mấy trận sau này " MỞ RỘNG" không chấm ạ?

 

(69 này là có điểm mở rộng & cách 2 chưa anh :D)

 

Rồi em ạ, ngay đầu #53 anh đã nói rồi nhé.

 

Điểm của em ở đâu vậy anh :D

Vì các trận trước chưa thống kê số toán thủ bị loại + etc... nên anh nghĩ trước mắt cứ chấm các trận tồn đọng đã. Có gì nhớ nhắc anh sau này chấm lại


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 13-06-2014 - 11:01

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#59 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 14-07-2014 - 08:21

Hoang Tung 126 không phải toán thủ thi đấu nên không tính điểm

 

Bảng điểm:

File gửi kèm  MSS09.xls   24K   24 Số lần tải

 



#60 khongbietdattenlagi

khongbietdattenlagi

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 03-01-2015 - 14:09

$$\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )^{2}=\left ( \frac{1}{x\sqrt[]{x.(y+z)}}.\sqrt[]{x(y+z)}+\frac{1}{y\sqrt[]{y.(x+z)}}.\sqrt[]{y(x+z)}+\frac{1}{z\sqrt[]{z.(x+y)}}.\sqrt[]{z(x+y)}\right )^{2}\leq E.2(xy+yz+zx) \Rightarrow E\geq \frac{\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )^{2}}{2(xy+yz+zx)}=\frac{(xy+yz+zx)^{2}}{2(xy+yz+zx)}=\frac{xy+yz+zx}{2}\geq \frac{3}{2}.\sqrt[3]{{x^{2}y^{2}z^{2}}}=\tfrac{3}{2} (vì xyz=1)$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khongbietdattenlagi: 03-01-2015 - 15:34






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh