Chủ đề này có 61 trả lời

[lamdaika]

Bai2, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}+a^{2}}\leqslant 1$

[nguyenhongsonk612]

 

Bai2, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:

 

$\frac{1}{1+a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{1+c^{2}+a^{2}}\leqslant 1$

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$(1+a^2+b^2)(c^2+1+1)\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{1+a^2+b^2}\leq \frac{c^2+2}{(a+b+c)^2}$

tương tự $\frac{1}{1+b^2+c^2}\leq \frac{a^2+2}{(a+b+c)^2}$; 

               $\frac{1}{1+c^2+a^2}\leq \frac{b^2+2}{(a+b+c)^2}$

Cộng theo vế $3$ BĐT trên ta được

$VT\leq \frac{a^2+b^2+c^2+6}{(a+b+c)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$

(Đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$