Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 9 - Phương pháp tọa độ trong không gian

mhs 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-05-2014 - 19:55

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 09/5/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

 

 

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.


Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 
Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

3) Thành viên diễn đàn không đăng kí thi đấu vẫn có thể giải bài, nhưng phải ghi rõ là: Mình không phải là toán thủ thi đấu

 

4) Sau trận này, 02 toán thủ đứng cuối cùng của bảng xếp hạng sẽ bị loại khỏi giải đấu.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-05-2014 - 20:13

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(0;1;-2),B(2;-1;1)$ và đường thẳng:

$$(\Delta): \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1} =\frac{z-1}{2}$$

Hãy tìm tọa độ điểm $C$ trên đường thẳng $(\Delta)$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất.

 

Đề của BTC


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 09-05-2014 - 20:26

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(0;1;-2),B(2;-1;1)$ và đường thẳng:

$$(\Delta): \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1} =\frac{z-1}{2}$$

Hãy tìm tọa độ điểm $C$ trên đường thẳng $(\Delta)$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất.

 

Đề của BTC

Do $C$ thuộc $\Delta \Rightarrow C(t+1,2-t,2t+1),t \in R$

Ta có $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}(2,-2,3)\\ \overrightarrow{AC}(t+1,1-t,2t+3) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2}\sqrt{(t+9)^2+(t+3)^2+4^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2t^2+24t^2+106}=\frac{1}{2}\sqrt{2(t+6)^2+34}\geqslant \frac{\sqrt{34}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $t=6$, hay $C(7,-4,13)$

 

 

 

$\boxed{Điểm: 3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 22-05-2014 - 10:56

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#4 motdaica

motdaica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:toán học,VMO,lịch sử

Đã gửi 09-05-2014 - 23:46

Bài làm:

$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{2}$ => vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-1;2)$

Ta có : AB là đường thẳng đia qua A và nhận $\overrightarrow{AB}=(2;-2;3)$ làm vecto chỉ phương

=> phương trình đường thẳng AB : $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+2}{3}$

Xét đường thẳng AB có A(0;1;-2) và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(2;-2;3)$ ,đường thẳng $(\Delta)$ có $M(1;2;1)\in (\Delta )$ và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;-1;2)$  => hai vectơ không cùng phương

Ta có hệ :$\left\{\begin{matrix} 0+2t=1+t'\\ 1-2t=2-t'\\ -2+3t=1+2t' \end{matrix}\right.$

Từ 2 phương trình đầu =>$\left\{\begin{matrix} 2t-t'=1\\ 2t-t'=-1 \end{matrix}\right.$ vô nghiệm => hệ vô nghiệm => AB và $(\Delta)$ chéo nhau.

Lấy $C(a;3-a;2a-1)\in (\Delta )$. Gọi H là hình chiều của C trên AB.=> H có tọa độ (2b;1-2b;3b-2) =>$\overrightarrow{CH}=(2b-a;a-2b-2;3b-2a-1)$

Ta có :$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}CH.AB$ => $S_{\bigtriangleup ABC}$ nhỏ nhất <=> CH nhỏ nhất (vì A,B cố định=>AB không đổi) <=>CH là đoạn vuông gó chung của AB và $(\Delta)$

=> ta có $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{CH}.\overrightarrow{u}=0 \end{matrix}\right.$

=>$\left\{\begin{matrix} (2b-a)-(a-2b-2)+2(3b-2a-1)=0\\ 2(2b-a)-2(a-2b-2)+3(3b-2a-1)=0 \end{matrix}\right.$

=> $\left\{\begin{matrix} -6a+10b=0\\ 17b-10a=-1 \end{matrix}\right.$

=>$\left\{\begin{matrix} a=-5\\ b=-3 \end{matrix}\right.$=> Tọa độ điểm C(-5;8;-11)

Vậy tọa độ điểm C là (-5;8;-11) thì diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

 

 

$\boxed{Điểm: 9,5}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 22-05-2014 - 10:58


#5 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 10-05-2014 - 12:49

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(0;1;-2),B(2;-1;1)$ và đường thẳng:

$$(\Delta): \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1} =\frac{z-1}{2}$$

Hãy tìm tọa độ điểm $C$ trên đường thẳng $(\Delta)$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất.

 

Đề của BTC

pt tham số của $\Delta $ là $\left\{\begin{matrix}x=t+1 &  & \\ y=2-t &  & \\ z=2t+1 &  & \end{matrix}\right.$

do $C\epsilon \Delta $ nên giả sử $C(t+1;2-t;2t+1)$ 
ta có $\vec{AB}=(2;-2;3)$
$\vec{AC}=(t+1;1-t;2t+1)$
suy ra $[\vec{AB},\vec{AC}]=(-t-9;-t-3;4)$
ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}|[\vec{AB},\vec{AC}]|=\frac{1}{2}\sqrt{2t^2+24t+106}$
mà $\sqrt{2t^2+24t+106}=\sqrt{2(t+6)^2+34}\geq \sqrt{34}$
Do đó $S_{ABC}\geq \sqrt{\frac{17}{2}}$ ĐTXR khi $t=-6$ suy ra $C(-5;8;-11)$
Vậy với $C(-5;8;-11)$ thì $minS_{ABC}= \sqrt{\frac{17}{2}}$
 
 
$\boxed{Điểm: 9,5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 22-05-2014 - 10:59


#6 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 10-05-2014 - 13:17

Mở Rộng:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A(0;1;-2),B(2;-1;1)$ và đường thẳng:

$$(\Delta): \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-1} =\frac{z-1}{2}$$. Cho $C\epsilon \Delta $ sao cho $x_C=t+1$.($t$ là tham số )

Tìm trên mặt phẳng $(P):2x-2x+3z-10t+1=0$ điểm $O$ sao cho $OC$ vuông góc với $(P)$ ; $OC=a (Const)$ và $S_{OAB}$ đạt GTNN

Giải:

Dễ thấy $(P)$ vuông góc với $AB$ và $C\epsilon (P) $

Gọi $H=AB\cap (P)$ suy ra $OH$ và $CH$ cùng vuông góc với $AB$

suy ra $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.CH$ và $S_{OAB}=\frac{1}{2}.AB.OH$

mà $AB=\sqrt{7}$ không đổi do đó $S_{OAB}$ đạt GTNN khi $OH$ min

Mặt khác tam giác $HOC$ vuông tại $C$ nên

 $OH=\sqrt{CH^2+OC^2}=\sqrt{CH^2+a^2}$ mà $CH=\frac{2S_{ABC}}{AB}=\frac{2S_{ABC}}{\sqrt{7}}$

suy ra $S_{OAB}$ đạt GTNN khi $S_{ABC}$ đạt GTNN

áp dụng kết quả bài trên ta có $C(-5;8;-11)$ từ đó suy ra tọa độ $O$ theo $a$

 



#7 vipkutepro

vipkutepro

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Đã gửi 10-05-2014 - 17:23

Giải:

$C$ thuộc $\left (\Delta \right )$ nên gọi $C(1+t; 2-t; 1+2t)$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left ( 2;-2;3 \right ); \overrightarrow{AC}=\left ( 1+t; 1-t;3+2t \right )$

$\Rightarrow \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ]=\left ( -t-9;-t-3;4 \right )$

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( -t-9 \right )^{2}+\left ( -t-3 \right )^{2}+4^{2}}$

                                             $=\frac{1}{2}\sqrt{2t^{2}+24t+106}=\frac{1}{2}\sqrt{2\left ( t+6 \right )^{2}+34}\geq \frac{1}{2}\sqrt{34}$

Do đó diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất bằng $\frac{1}{2}\sqrt{34}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $t=-6$. Khi đó ta có tọa độ điểm $C(-5;8;-11)$

Kết luận: $C(-5;8;-11)$

 

 

$\boxed{Điểm: 10}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 22-05-2014 - 10:59


#8 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 12-05-2014 - 23:48

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#9 motdaica

motdaica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:toán học,VMO,lịch sử

Đã gửi 13-05-2014 - 00:22

Do $C$ thuộc $\Delta \Rightarrow C(t+1,2-t,2t+1),t \in R$

Ta có $\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}(2,-2,3)\\ \overrightarrow{AC}(t+1,1-t,2t+3) \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}\left | \left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ] \right |=\frac{1}{2}\sqrt{(t+9)^2+(t+3)^2+4^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2t^2+24t^2+106}=\frac{1}{2}\sqrt{2(t+6)^2+34}\geqslant \frac{\sqrt{34}}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $t=6$, hay $C(7,-4,13)$

Thứ nhất : nhầm 24t thành $24t^{2}$

Thứ hai : nhâm t=-6 thành t=6 dẫn đến tọa độ C sai .Lần sau anh nhớ kiểm tra cẩn thận nhé :) ^_^

 

 

$\boxed{Điểm: 4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CD13: 22-05-2014 - 11:00


#10 CD13

CD13

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1455 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-05-2014 - 11:01

Hiện nay các bài thi của MHS đều đã được chấm, các em có gì thắc mắc thì gửi lên nhé! Anh E.Galois tổng hợp điểm nhé!



#11 motdaica

motdaica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:toán học,VMO,lịch sử

Đã gửi 22-05-2014 - 15:26

Hiện nay các bài thi của MHS đều đã được chấm, các em có gì thắc mắc thì gửi lên nhé! Anh E.Galois tổng hợp điểm nhé!

Anh CD13 ơi trận 4 đã chấm hết đâu với trận 5 còn chưa chấm bài nào cả :icon6: :lol:



#12 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 22-05-2014 - 21:24

Hiện nay các bài thi của MHS đều đã được chấm, các em có gì thắc mắc thì gửi lên nhé! Anh E.Galois tổng hợp điểm nhé!

mở rộng của em ko được tính ạ







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh