Chủ đề này có 3 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Bài 1: Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 \end{matrix}\right.$ CMR:
$\sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}}$+$\sqrt{\frac{bc+2a^{2}}{1+bc-a^{2}}}$+$\sqrt{\frac{ca+2b^{2}}{1+ca-b^{2}}}$$\geq 2+ab+bc+ac$

Bài 2: Có hay không 16 số tự nhiên,mỗi số có 3 chữ số được tạo thành từ 3 chữ số a,b,c sao cho 2 số bất kì trong chúng không cùng số dư khi chia cho 16.

2 bài đầu trích đề chuyên Vĩnh Phúc,câu 2 mọi người giải cụ thể nhé,vì em kém số lắm.

Bài 3: Tìm x và y thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x<y+2 \\ x^{4}+y^{4}-(x^{2}+y^{2})(xy+3x-3y)=2(x^{3}-y^{3}-3x^{2}-3y^{2}) \end{matrix}\right.$

(Trích chuyên LHP-Nam Định)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dam Uoc Mo: 10-05-2014 - 21:05

[phuocdinh1999]

Bài 1: Cho $\left\{\begin{matrix} a,b,c>0 \\ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 \end{matrix}\right.$ CMR:
$\sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}}$+$\sqrt{\frac{bc+2a^{2}}{1+bc-a^{2}}}$+$\sqrt{\frac{ca+2b^{2}}{1+ca-b^{2}}}$$\geq 2+ab+bc+ac$

Bài 2: Có hay không 16 số tự nhiên,mỗi số có 3 chữ số được tạo thành từ 3 chữ số a,b,c sao cho 2 số bất kì trong chúng không cùng số dư khi chia cho 16.

2 bài đầu trích đề chuyên Vĩnh Phúc,câu 2 mọi người giải cụ thể nhé,vì em kém số lắm.

Bài 3: Tìm x và y thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x<y+2 \\ x^{4}+y^{4}-(x^{2}+y^{2})(xy+3x-3y)=2(x^{3}-y^{3}-3x^{2}-3y^{2}) \end{matrix}\right.$

(Trích chuyên LHP-Nam Định)

Bài 1: 

$VT=\sum \frac{ab+2c^2}{\sqrt{(1+ab-c^2)(ab+2c^2)}}\geq \sum \frac{2ab+4c^2}{1+2ab+c^2}\geq \sum \frac{2ab+4c^2}{1+a^2+b^2+c^2}$

 

Kết hợp GT suy ra $VT\geq \sum ab+2$

[Nguyen Tang Sy]

Đặt $  a = x- y   (a < 2)  và b = xy $

Biến đổi phương trình thành:

$ (a-2)[(a^{2} + 3b)(a-3) + 3b] = 0 $

$ \Rightarrow  (a^{2}+3b)(a-3) + 3b = 0 $

$ \Leftrightarrow  (a^{2} + 3b)(a-2) = a^{2} $

Chú ý rẳng VT <= 0 từ đó a = 0 và x = y = 0;

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Tang Sy: 10-05-2014 - 23:54

[bangbang1412]

Bài 1 : Ta chứng minh 

$\sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}}=\sqrt{\frac{ab+2c^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}} \geq ab+2c^{2}$

Tương đương $(ab+2c^{2})(a^{2}+ab+b^{2})\leq 1$

Ta có $(ab+2c^{2})(a^{2}+ab+b^{2}) \leq (\frac{(a^{2}+b^{2}+2c^{2}+2ab)}{2})^{2} = (\frac{1+2ab+c^{2}}{2})^{2} \leq (\frac{1+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2})^{2} = ( \frac{1+1}{2})^{2}=1$ 

Cộng vế với vế ta có đpcm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-05-2014 - 18:17